作业帮如图 分别以三角形ABC的边AC.BC.为一边.在三角形ABC外作正方形ACDE和CBFG,点P是EF的中点求证点P到AB的距离是AB的一半
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 07:07:56
如图 分别以三角形ABC的边AC.BC.为一边.在三角形ABC外作正方形ACDE和CBFG,点P是EF的中点求证点P到AB的距离是AB的一半
如图 分别以三角形ABC的边AC.BC.为一边.在三角形ABC外作正方形ACDE和CBFG,点P是EF的中点求证点P到AB的距
离是AB的一半
如图 分别以三角形ABC的边AC.BC.为一边.在三角形ABC外作正方形ACDE和CBFG,点P是EF的中点求证点P到AB的距离是AB的一半
分别过P、C、E、F作AB的垂线,垂足依次是Q、H、M、N.
∵ACDE是正方形,∴∠EAM、∠CAH互余,又∠CAH、∠ACH互余,∴∠EAM＝∠ACH,
∵ACDE是正方形,∴AE＝CA,显然有∠AME＝∠CHA＝90°,∴△AEM≌△CAH,∴EM＝AH.
∵CBFG是正方形,∴∠FBN、∠CBH互余,又∠FBN、∠BFN互余,∴∠BFN＝∠CBH,
∵CBFG是正方形,∴BF＝CB,显然有∠BNF＝∠CHB＝90°,∴△BFN≌△CBH,∴FN＝BH.
由EM＝AH、FN＝BH,得：EM＋FN＝AH＋BH＝AB.
由PQ⊥AB、EM⊥AB、FN⊥AB,得：FN∥PQ∥EM,又EP＝FP,∴PQ是梯形EFNM的中位线,
∴由梯形中位线定理,有：PQ＝（EM＋FN）/2,结合证得的EM＋FN＝AB,得：
PQ＝AB/2. 证明完毕.
D:\My Documents\My Pictures\e8ec4ab1.jpg
分别过E，F，C，P作AB的垂线，垂足依次为R，S，T，Q，则ER∥PQ∥FS，
∵P是EF的中点，
∴PQ= 1/2（ER+FS），
∵AE=AC（正方形的边长相等），∠AER=∠CAT（同角的余角相等），∠R=∠ATC=90°，
∴Rt△AER≌Rt△CAT（AAS），
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D:\My Documents\My Pictures\e8ec4ab1.jpg
分别过E，F，C，P作AB的垂线，垂足依次为R，S，T，Q，则ER∥PQ∥FS，
∵P是EF的中点，
∴PQ= 1/2（ER+FS），
∵AE=AC（正方形的边长相等），∠AER=∠CAT（同角的余角相等），∠R=∠ATC=90°，
∴Rt△AER≌Rt△CAT（AAS），
同理Rt△BFS≌Rt△CBT，
∴ER=AT，FS=BT，
∴ER+FS=AT+BT=AB，
∴PQ= 1/2AB．
收起