求初一截长补短的几何证明题.

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 06:15:25

求初一截长补短的几何证明题.
求初一截长补短的几何证明题.

求初一截长补短的几何证明题.
已知：△ABC是⊙O的内接等边三角形,点P为弧BC上一动点,求证：PA=PB+PC.
分析：直接证明PA=PB+PC,困难较大.可用截长法：在PA上截取PD=PB,再证明PC=DA即可（或用补短法：在BP或CP上各补上与CP或BP相等的线段,再证明PA与这条线段相等）.
证明（截长法）：在PA上截取PD=PB,连接BD,
∵ △ABC是圆O的内接等边三角形,∴ BA=BC,∠ABC=∠ACB=60°.
∵ ∠BPA=∠BCA,
∴∠BPA=60°.
∴ △BPD是等边三角形.
∴ BD=BP,∠DBP=60°.
∴ ∠ABD=∠CBP.
∴ △ABD≌△CBP.
∴ PC=DA.
又∵ PA=PD+DA,
∴ PA=PB+PC.
证明（补短法）：延长BP到D使PD=PC,连接CD,
∵ △ABC是圆内接等边三角形,∴ AC=BC,∠ABC=∠ACB=60°.
∵ ∠BPA=∠BCA,∠ABC=∠APC,
∴ ∠BPA=60°=∠APC.∴ ∠CPD=60°.
∴ △CPD是等边三角形.
∴ CD=CP ∠DCP=60°.∴ ∠ACP=∠BCD.
∴ △ACP≌△BCD.∴ PA=BA.
又∵ BD=PD+BP,∴ PA=PB+PC.

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