高等代数（线性代数）题证明：如果m*n矩阵A的秩为r,则它的任何s行组成的子矩阵A1的秩不小于r+s-m

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/05 05:05:08

高等代数（线性代数）题证明：如果m*n矩阵A的秩为r,则它的任何s行组成的子矩阵A1的秩不小于r+s-m
高等代数（线性代数）题
证明：如果m*n矩阵A的秩为r,则它的任何s行组成的子矩阵A1的秩不小于r+s-m

高等代数（线性代数）题证明：如果m*n矩阵A的秩为r,则它的任何s行组成的子矩阵A1的秩不小于r+s-m
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此题非常简单,易知：
当A去掉1行得到B矩阵,则总有关系
rank(A) >= rank(B) >= rank(A)-1
现在,任何s行组成的子矩阵A1,它其实就是把A去掉(m-s)行,则由上述关系知
rank(A) >= rank(A1) >= rank(A)-(m-s)
因为 rank(A)=r
所以 rank(A1) >= r-(m-s) = r-m+s
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不知道这样解释能否理解,
关键点就是把A1看成是A删去(m-s)行得到的矩阵,rank(A)就是A经初等变换后非零行的行数
那么
如果A删去的(m-s)行,全部是“0行”,则rank(A1)的值不变,仍为rank(A)－0
如果A删去的(m-s)行,全是“非0行”,则rank(A1)的值为减少为rank(A)－(m-s)
否则,rank(A1)值始终介于,上述两种极端情况之间,即
rank(A)－(m-s)

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