作业帮已知三角形ABC的两个顶点是B(-2,0)C(2,0)顶点A在直线y=2上运动,求垂心的轨迹方程
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/27 15:43:03
已知三角形ABC的两个顶点是B(-2,0)C(2,0)顶点A在直线y=2上运动,求垂心的轨迹方程
已知三角形ABC的两个顶点是B(-2,0)C(2,0)顶点A在直线y=2上运动,求垂心的轨迹方程
已知三角形ABC的两个顶点是B(-2,0)C(2,0)顶点A在直线y=2上运动,求垂心的轨迹方程
设垂心D（X,Y）,A（X1,2）
因为D为垂心,所以AD⊥BC,BD⊥AC.
因为AD⊥BC,所以向量AD*向量BC=0,所以（X1-X,2-Y)*(4,0)=0,所以X=X1
因为BD⊥AC,所以向量BD*向量AC=0,所以（X+2,Y）*(2-X,-2)=0,得X²+2Y=4
所以垂心的轨迹方程为X²+2Y=4
设A的坐标为(t, 2)。
那么，由于AH⊥BC，故垂心H的x坐标显然为t。下面设其坐标为(t, y0)，我们求y坐标y0。
由于BH⊥AC，所以应该有k(BH)*k(AC)=-1。
从而
(y0-0)/(t+2)*(2-0)/(t-2)=-1。
由此解得y0=-(t^2-4)/2。
故H的坐标为(t, -(t^2-4)/2)。
因而H的轨迹...
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设A的坐标为(t, 2)。
那么，由于AH⊥BC，故垂心H的x坐标显然为t。下面设其坐标为(t, y0)，我们求y坐标y0。
由于BH⊥AC，所以应该有k(BH)*k(AC)=-1。
从而
(y0-0)/(t+2)*(2-0)/(t-2)=-1。
由此解得y0=-(t^2-4)/2。
故H的坐标为(t, -(t^2-4)/2)。
因而H的轨迹满足方程y=-(x^2-4)/2。
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A(m,2),B(-2,0),C(2,0)
AB所在直线方程:
k=(0-2)/(-2-m)=2/(2+m)
y=2x/(2+m)+b
0=-4/(2+m)+b
b=4/(2+m)
y=2x/(2+m)+4/(2+m)
2x-(2+m)y+4=0.....................1)
设CD⊥AB于D，则CD所在直线方程：
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A(m,2),B(-2,0),C(2,0)
AB所在直线方程:
k=(0-2)/(-2-m)=2/(2+m)
y=2x/(2+m)+b
0=-4/(2+m)+b
b=4/(2+m)
y=2x/(2+m)+4/(2+m)
2x-(2+m)y+4=0.....................1)
设CD⊥AB于D，则CD所在直线方程：
k=-1/kab=-(2+m)/2
y=-x(2+m)/2+b
代入C(2,0)：
0=-(2+m)+b
b=2+m
(2+m)x+2y-2(2+m)=0..............2)
2）与x=m的交点即垂心
将x=m代入2）得：
2m+m^2+2y-4-2m=0
y=2-m^2/2
将m换成x
y=2-x^2/2即为所求垂心的轨迹方程
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