作业帮证明 PA^2 + PC^2 = PB^2 + PD^2ABCD为一个长方形,AB=8,AD=10.P为长方形内一点.求证：PA^2 + PC^2 = PB^2 + PD^2
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 09:06:21
证明 PA^2 + PC^2 = PB^2 + PD^2ABCD为一个长方形,AB=8,AD=10.P为长方形内一点.求证：PA^2 + PC^2 = PB^2 + PD^2
证明 PA^2 + PC^2 = PB^2 + PD^2
ABCD为一个长方形,AB=8,AD=10.P为长方形内一点.
求证：PA^2 + PC^2 = PB^2 + PD^2
证明 PA^2 + PC^2 = PB^2 + PD^2ABCD为一个长方形,AB=8,AD=10.P为长方形内一点.求证：PA^2 + PC^2 = PB^2 + PD^2
过P作四个边的垂线,与AB,BC,CD,AD分别交于E,F,G,H.
设AH=x,AE=y.
则PA^2 =x^2+y^2,PB^2=x^2+(8-y)^2,PC^2=(10-x)^2+(8-y)^2,PD^2=(10-x)^2+y^2.
显然有PA^2 + PC^2 = PB^2 + PD^2 .
过P点作AB边的垂线交AB于点Q，QP的延长线交CD于点E，过P点作AD的垂线交AD于点F，FP的延长线交BC于点G，因为四边形ABCD为长方形，所以有EQ平行于AD与BC，FG平行于AB与CD。所以有ABPF，FDEP，QBGP，GCEP均为长方形，所以有AQ=PF=ED，PQ=BG=AF，QB=PG，GC=PE=FD于是就有了PA^2=AQ^2+QP^2
PC^2=PG^2+GC^2<...
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过P点作AB边的垂线交AB于点Q，QP的延长线交CD于点E，过P点作AD的垂线交AD于点F，FP的延长线交BC于点G，因为四边形ABCD为长方形，所以有EQ平行于AD与BC，FG平行于AB与CD。所以有ABPF，FDEP，QBGP，GCEP均为长方形，所以有AQ=PF=ED，PQ=BG=AF，QB=PG，GC=PE=FD于是就有了PA^2=AQ^2+QP^2
PC^2=PG^2+GC^2
PB^2=PG^2+BG^2=PG^2+PQ^2
PD^2=PF^2+PE^2=AQ^2+GC^2
因此就有了PA^2+PC^2=PB^2+PD^2
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