在平面直角坐标系xoy中,矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上,oc在x轴的正半轴上,OA=2,OC=3,过原点O作角AOC的平分线交AB于点D,连接DC,过点D作DE垂直于DC,交O芋点E.（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/11 04:42:38

在平面直角坐标系xoy中,矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上,oc在x轴的正半轴上,OA=2,OC=3,过原点O作角AOC的平分线交AB于点D,连接DC,过点D作DE垂直于DC,交O芋点E.（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；
在平面直角坐标系xoy中,矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上,oc在x轴的正半轴上,OA=2,OC=3,过原点O作角AOC的平分线交AB于点D,连接DC,过点D作DE垂直于DC,交O芋点E.
（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；
（2）将角EDC绕点D按顺时针方向旋转后,角的一边与y轴的正半轴交于点F,另一边与纯然OC交于点G,如果DF与（1）中的抛物线交于另一点M《点M的横坐标为6/5,那么EF=2G烛否成立?若成立,请给予证明,若不成立,请说明理由.
（3）对于（2）中的点G,在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q,使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的三角形PCG是等腰三角形?若存在,请求出点Q的坐标,若不存在,请说明理由.

在平面直角坐标系xoy中,矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上,oc在x轴的正半轴上,OA=2,OC=3,过原点O作角AOC的平分线交AB于点D,连接DC,过点D作DE垂直于DC,交O芋点E.（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；

（1）由已知,得C（3,0）,D（2,2）,
∵∠ADE=90°-∠CDB=∠BCD,
∴AD=BC．tan∠ADE=2×tan∠BCD=2× =1．
∴E（0,1）
设过点E、D、C的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0）．
将点E的坐标代入,得c=1．将c=1和点D、C的坐标分别代入,
得解这个方程组,得 a=-5/6 b=13/6
故抛物线的解析式为y=- x2+ x+1；
（2）EF=2GO成立．
∵点M在该抛物线上,且它的横坐标为 ,
∴点M的纵坐标为．
设DM的解析式为y=kx+b1（k≠0）,将点D、M的坐标分别代入,
得 2k+b=2 6k/5+b=12/5
解得k=-1/2 b=3
∴DM的解析式为y=- x+3．（6分）
∴F（0,3）,EF=2．（7分）
过点D作DK⊥OC于点K,则DA=DK．
∵∠ADK=∠FDG=90°,
∴∠FDA=∠GDK．
又∵∠FAD=∠GKD=90°,
∴△DAF≌△DKG．
∴KG=AF=1．
∴GO=1．（8分）
∴EF=2GO；
（3）∵点P在AB上,G（1,0）,C（3,0）,
则设P（t,2）．
∴PG2=（t-1）2+22,PC2=（3-t）2+22,GC=2．
①PG=PC,则（t-1）2+22=（3-t）2+22,
解得t=2．
∴P（2,2）,此时点Q与点P重合,
∴Q（2,2）．（9分）
②若PG=GC,则（t-1）2+22=22,
解得t=1,
∴P（1,2）,
此时GP⊥x轴．GP与该抛物线在第一象限内的交点Q的横坐标为1,
∴点Q的纵坐标为 7/3
∴（1,7/3）．（10分）
③若PC=GC,则（3-t）2+22=22,解得t=3,
∴P（3,2）,此时PC=GC=2,△PCG是等腰直角三角形．
过点Q作QH⊥x轴于点H,则QH=GH,设QH=h,
∴Q（h+1,h）．
∴ -5/6（h+1）2+ 13/6（h+1）+1=h．
解得h1=7/5 ,h2=-2（舍去）．
∴Q（12/5 ,7/5）．
综上所述,存在三个满足条件的点Q,即Q（2,2）或Q（1,7/3 ）或Q（12/5 ,7/5）．