作业帮5的 2009次方 除以7的余数 是多少
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 03:35:20
5的 2009次方 除以7的余数 是多少
5的 2009次方 除以7的余数 是多少
5的 2009次方 除以7的余数 是多少
5除以7的余数 是5
5^2除以7的余数 是4
5^3除以7的余数 是6
5^4除以7的余数 是2
5^5除以7的余数 是3
5^6除以7的余数 是1
5^7除以7的余数 是5
5^8除以7的余数 是4
5的 2009次方 =(5^6)334*5^5
5的 2009次方 除以7的余数 =5^5除以7的余数=3
5^2009=（7-2)^2009,用二项式定理展开，含有7的那些项都能被7整除，如果我没猜错的话，就最后一项需要算一下，也不是挺复杂的。哥们，自己钻研一下吧，提示到此为止。授之鱼不如授之以渔。祝你好运哦！
谁要知道怎么算的话也告诉我一声！
5的6次方除以7余1；5的5次方除以7余3
5^2009=5^2004 * 5^5 (其中2004整除6)
所以5^2009除以7的余数就是上面两项的余数之乘积，为1*3=3
余数是3
5的2009次＝（7－2）的2009次
根据二项式定理
(7-2)^2009=
7^2009 +
7^2008 * X1 + (这里面X1到Xn是余下的表达式)
7^2007 * X2 +
…
7^1 * 2009 * (-2)^2008 +
(-2)^2009
这样前2008项里面全含有...
全部展开
余数是3
5的2009次＝（7－2）的2009次
根据二项式定理
(7-2)^2009=
7^2009 +
7^2008 * X1 + (这里面X1到Xn是余下的表达式)
7^2007 * X2 +
…
7^1 * 2009 * (-2)^2008 +
(-2)^2009
这样前2008项里面全含有7的某次方，故余数只在第2009项即(-2)^2009次方这一项产生
而(-2)^2009 = -2^2009
即 (5^2009)mod 7 = (-2^2009)mod 7
因为：(-2)^2009 = -2^2009
设 a = (2^2009)mod7
则-a =-(2^2009)mod7
7-a =-(2^2009)mod7
现在只要算出(2^2009)mod7即可
下面证明2的n次方对7取余数的规律：[2^(n+3)]mod7 = (2^n)mod7
2^(n+3)=2^n * 2^3
=2^n * 8
设 2^n = 7b+c ……c是余数,c非负不大于7
则 (2^n)mod7=c
而 2^(n+3)＝2^n * 8
＝8*(7b+c)
＝56b+8c
＝56b+7c+c
而(56b+7c+c)mod7=c
所以[2^(n+3)]mod7 = (2^n)mod7
所以(2^2009)mod7 = (2^2)mod7
= 4 mod 7 =4
所以(-2^2009)mod 7 = 3
综上：
(5^2009)mod7 = [(-2)^2009] mod 7
= (-2^2009) mod 7
= 7 - (2^2009) mod 7
= 7 - 4mod7
= 7 - 4
= 3
收起