一道奥数题,已知两个自然数的差为30,它们的最小公倍数与最大公约数的差为450,求这两个数?急急急

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/28 16:55:59

一道奥数题,已知两个自然数的差为30,它们的最小公倍数与最大公约数的差为450,求这两个数?急急急
一道奥数题,已知两个自然数的差为30,它们的最小公倍数与最大公约数的差为450,求这两个数?
急急急

一道奥数题,已知两个自然数的差为30,它们的最小公倍数与最大公约数的差为450,求这两个数?急急急
41,11和65,35两组答案.

设这两个数为a、b（ab互质），则最小公倍数为451。接下来找a乘b等于451的两个数（差要为30），最后得到41和11。

额，我无能了，计算机算出来答案是35和65，程序穷举的，具体过程我还真不会算，你老师讲过后也叫一下我？

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为了方便解释我假设这两个数的最大公约数为t，那么这两个数可以用at，bt表示，其中很重要的一个隐含条件是a，b互质，根据已知条件我们知道at-bt=30，这两个数的最小公倍数显然是abt，这个很好理解，第二个条件列出方程abt-t=450，然后就不好做了吧~之后我们需要将t提出来变成（a-b）t=30，
（ab-1）t=450，显然t为最大公约数不等于0，所以两数相除得到（ab-1）/（a-b)=15,这是个2次方程不容易求解，但是我们可以观察下，（a-b）t=30
，所以（a-b）是30的约数（a-b）可能的取值为1,2,3,5,6,10,15,30；对应的（ab-1）的取值为15,30，45,75,90,150,225,450；对应到ab为16,31,46,76,91,151,226,451，然后再对ab对应的数字进行因数分解，看看哪几种情况满足条件，中间分解过程就不多说了，分解之后发现ab=91和ab=451满足要求，对于第一个解a=13，b=7，
对应a-b=6，t=5，求出两个数为65,35
对于第二个解，a=41，b=11对应的t=1，所以两个数为41,11

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设它们的最大公约数为n，这两个自然数分别为an和bn(a与b互质)，它们的最小公倍数为abn。列方程
an-bn=30 n(a-b)=30
abn-n=450 n(ab-1)=450
1）当n=1时 ab-1=450 ab=451 a-b=30 得a=41，b=11；
2）当n=2时 ab-1=225 ...

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设它们的最大公约数为n，这两个自然数分别为an和bn(a与b互质)，它们的最小公倍数为abn。列方程
an-bn=30 n(a-b)=30
abn-n=450 n(ab-1)=450
1）当n=1时 ab-1=450 ab=451 a-b=30 得a=41，b=11；
2）当n=2时 ab-1=225 ab=226 a-b=15 无正整数解；
3）当n=3时 ab-1=150 ab=151 a-b=10 无正整数解；
4）当n=5时 ab-1=90 ab=91 a-b=6 得a=13，b=7；
当n=6、10、15、30时，均无正整数解。
这两个数分别为41和11或13X5=65和7X5=35

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