P为正方形ABCD的边CD上任一点,BG垂直AP于G,在AP上取点E,使AG=GE,连接BE、CE1）求证：BE=BC2）若角CBE的平分线交AP的延长线于N点,连接DN,求证：BN+DN=根号2倍的AN（最主要是第二问~）

P为正方形ABCD的边CD上任一点,BG垂直AP于G,在AP上取点E,使AG=GE,连接BE、CE1）求证：BE=BC2）若角CBE的平分线交AP的延长线于N点,连接DN,求证：BN+DN=根号2倍的AN（最主要是第二问~）
P为正方形ABCD的边CD上任一点,BG垂直AP于G,在AP上取点E,使AG=GE,连接BE、CE
1）求证：BE=BC
2）若角CBE的平分线交AP的延长线于N点,连接DN,求证：BN+DN=根号2倍的AN
（最主要是第二问~）

P为正方形ABCD的边CD上任一点,BG垂直AP于G,在AP上取点E,使AG=GE,连接BE、CE1）求证：BE=BC2）若角CBE的平分线交AP的延长线于N点,连接DN,求证：BN+DN=根号2倍的AN（最主要是第二问~）
证明：（1）正方形ABCD,AB=BC=CD=DA
∵ BG⊥AE,AG=GE,Rt△ABG≌Rt△BGE
∴ AB=BE=BC
连接CN,延长BN交CE于H
自点D作DM⊥AN于M,显然Rt△ADM≌RtABG,DM=AG
∵ BN平分∠CBE,∴ CH=HE
∵ ∠CBN=∠EBN,BE=BC,BN=BN
∴ △BCN≌△BEN,∴ CN=NE,△CEN是等腰△
延长AE交DC延长线于F,则有：∠BAG=∠BEG=∠CFE=∠BCN
A,B,C,D,N五点共圆,∠AND=∠BNG=45°【AB弦所对圆周角=45°】
Rt△DMN,Rt△BGN都是等腰直角三角形,√2DM=√2AG=DN,√2GN=BN,√2AG+√2GN=√2AN=BN+DN
标准答案上是不做任何辅助线,仅用等腰三角形和直角三角形通过
∠GBP+∠PBN=∠GBN=∠PNB=∠NBE+∠NEB得出Rt△BPG是等腰直角三角形
进而得到,AM=GN

参考:
⑴ ⊿BGA≌⊿BGE（SAS）,BE=BA=BC
⑵ ⊿BNC≌⊿BNE（SAS）,∴∠BCN＝∠BEN＝∠BAE.
A,B,C,D,N共圆.∠DNB=90°.作AN的垂线AK交ND延长线于K.
∠ADK＝∠ABN（共圆）.∠DAK＝∠BAN.⊿ADK≌⊿ABN,DK＝BN.AN=AK
⊿ANK是等腰直角三角形,BN+DN＝KD+DN＝KN＝√2AN.

（1）由已知得BG是AE的垂直平分线
∴BE=AB=BC
(2)易证△BCN≌△BEN
∴∠BCN=∠BEN
∵∠BEN+∠BEA=180°，∠BAE=∠BEA
∴∠BAE+∠BCN=180°
∴A、B、C、N四点共圆
又∵A、B、C、D四点共圆
而不在同一直线上的三个点确定一个圆
∴A、B、C、D、N五点共圆
∴∠A...

全部展开

（1）由已知得BG是AE的垂直平分线
∴BE=AB=BC
(2)易证△BCN≌△BEN
∴∠BCN=∠BEN
∵∠BEN+∠BEA=180°，∠BAE=∠BEA
∴∠BAE+∠BCN=180°
∴A、B、C、N四点共圆
又∵A、B、C、D四点共圆
而不在同一直线上的三个点确定一个圆
∴A、B、C、D、N五点共圆
∴∠ANB+∠ABN=180°
将△ADN绕点A顺时针旋转90°到△ABM
则∠ABM+∠ABN=180°
∴M、B、N三点在一条直线上
且△AMN是等腰直角三角形
∴MN²=2AN²
即MN=√2AN
而MN=MB+BN=DN+BN
∴BN+DN=√2AN

收起

1)在△ABG与△EBG中
∵AG=EG，∠AGB=∠EGB=90°，BG=GM
∴△ABG≌△EBG
∴BE=AB
又∵AB=BC
∴BE=BC
2)过A作AM⊥AN交NB延长线于M
∵△ABG≌△EBG
∴∠ABG=∠EBG
又∵CN平分∠CBE
∴∠CBN=∠EBN
...

全部展开

1)在△ABG与△EBG中
∵AG=EG，∠AGB=∠EGB=90°，BG=GM
∴△ABG≌△EBG
∴BE=AB
又∵AB=BC
∴BE=BC
2)过A作AM⊥AN交NB延长线于M
∵△ABG≌△EBG
∴∠ABG=∠EBG
又∵CN平分∠CBE
∴∠CBN=∠EBN
∴∠GBN=∠EBG+∠EBN=1/2∠ABC=45°
而BG⊥AP ∠BGN=90°
∴∠ANB=180°-∠BGN-∠GBN=180°-90°-45°=45°
则∠M=180°-∠MAN-∠ANM=180°-90°-45°=45°
∴AM=AN
△AMN是等腰直角三角形
MN=√2AN
而∠BAD=∠MAN=90°
即∠BAN+∠NAD=∠BAN+∠MAB
∴∠NAD=∠MAB
在△MAB与△NAD中
∵AM=AN，∠MAB=∠NAD，AB=AD
∴△MAB≌△NAD
∴BM=DN
BN+DN=BN+BM=MN=√2AN
BN+DN=√2AN 得证

收起

∠GBE=∠ABG
∠EBN=∠NBC
∴∠GBN=45°
∵BG⊥AE
∴∠BGE=90°
∴∠BNG=45°
做AF⊥AN，与NB的延长线交于F
∠DAN=∠BAF
DA=AB
AN=AF（等腰三角形）
△ADN全等于△ABF
DN=BF
∴DN+NB=NF
∵等腰直角三角形ANF
...

全部展开

∠GBE=∠ABG
∠EBN=∠NBC
∴∠GBN=45°
∵BG⊥AE
∴∠BGE=90°
∴∠BNG=45°
做AF⊥AN，与NB的延长线交于F
∠DAN=∠BAF
DA=AB
AN=AF（等腰三角形）
△ADN全等于△ABF
DN=BF
∴DN+NB=NF
∵等腰直角三角形ANF
∴根号2的AN=NF
∴根号2的AN=BN+DN
得证

收起

要作辅助线，这个证明很长，我就大概说下,其他自己理解
1）∵BG⊥AE,AG=GE
∴BE=AB=BC
2)过A点做AQ‖BG,AQ交NB延长线于Q
设∠NAD=X,通过角度推算得出∠QNA=45°
又因为∠QAN=90°得QN=根号2倍的AN
再证⊿ABQ≌⊿ADN 得QB=DN
∴DN+BN=QB+BN=QN...

全部展开

要作辅助线，这个证明很长，我就大概说下,其他自己理解
1）∵BG⊥AE,AG=GE
∴BE=AB=BC
2)过A点做AQ‖BG,AQ交NB延长线于Q
设∠NAD=X,通过角度推算得出∠QNA=45°
又因为∠QAN=90°得QN=根号2倍的AN
再证⊿ABQ≌⊿ADN 得QB=DN
∴DN+BN=QB+BN=QN=根号2倍的AN

收起