作业帮设a,b,c是三角形3边．求证：a（b2＋c2）＋b（c2＋a2）＋c（a2＋b2）－a3－b3－c3＞2abcb2．．表示b的平方．．
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/11 15:08:13
设a,b,c是三角形3边．求证：a（b2＋c2）＋b（c2＋a2）＋c（a2＋b2）－a3－b3－c3＞2abcb2．．表示b的平方．．
设a,b,c是三角形3边．求证：a（b2＋c2）＋b（c2＋a2）＋c（a2＋b2）－a3－b3－c3＞2abc
b2．．表示b的平方．．
设a,b,c是三角形3边．求证：a（b2＋c2）＋b（c2＋a2）＋c（a2＋b2）－a3－b3－c3＞2abcb2．．表示b的平方．．
设B=b/a=>b=B*a C=c/a=>c=C*a
则原不等式变为a^3*(B^2+C^2+B*C^2+B+C+B^2*C-1-B^3-C^3-2BC)>0
(B-C)^2-B^2(B-C)+C^2(B-C)+B+C-1>0
(B-C)^2-(B-C)^2(B+C)+B+C-1>0
-(B-C)^2(B+C-1)+B+C-1>0
(B+C-1)(1-(B-C)^2)>0 两边同乘a^3
(b+c-a)(a^2-(b-c)^2)>0
三角形3边必有b+c>a =>b+c-a>0
a^2-(b-c)^2>0
a^2>(b-c)^2
a>b-c(设b>c)
a+c>b 成立
a(b^2+c^2)+b(a^2+c^2)+c(a^2+b^2)-a^3-b^3-c^3
=a(b^2+c^2-a^2)+b(a^2+c^2-b^2)+c(a^2+b^2-c^2)
=cosA*2abc+cosB*2abc+cosC*2abc（余弦定理）
=2abc(cosA+cosB+cosC)
只需证明cosA+cosB+cosC>1即可。
c...
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a(b^2+c^2)+b(a^2+c^2)+c(a^2+b^2)-a^3-b^3-c^3
=a(b^2+c^2-a^2)+b(a^2+c^2-b^2)+c(a^2+b^2-c^2)
=cosA*2abc+cosB*2abc+cosC*2abc（余弦定理）
=2abc(cosA+cosB+cosC)
只需证明cosA+cosB+cosC>1即可。
cosA+cosB+cosC = 2cos((A+B)/2)cos((A-B)/2)+1-2sin^2(C/2)
= 2sin(C/2)cos((A-B)/2)+1-2sin^2(C/2)
= 1 + 2sin(C/2)*(cos((A-B)/2)-sin(C/2))
= 1 + 2sin(C/2)*(cos((A-B)/2)-cos((A+B)/2))
= 1 + 4sin(C/2)sin(A/2)sin(B/2)
> 1
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