作业帮向量与轨迹方程有难度设AB是圆0 X^2+Y^2=9的动弦 ,|AB|=3 定点C(C,0)和动点P满足（向量）PA+PB+3PC=0求点P轨迹
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/13 10:39:05
向量与轨迹方程有难度设AB是圆0 X^2+Y^2=9的动弦 ,|AB|=3 定点C(C,0)和动点P满足（向量）PA+PB+3PC=0求点P轨迹
向量与轨迹方程
有难度
设AB是圆0 X^2+Y^2=9的动弦 ,|AB|=3 定点C(C,0)和动点P满足
（向量）PA+PB+3PC=0
求点P轨迹
向量与轨迹方程有难度设AB是圆0 X^2+Y^2=9的动弦 ,|AB|=3 定点C(C,0)和动点P满足（向量）PA+PB+3PC=0求点P轨迹
因为|AB|=3=半径,所以△AOB为等边三角形,有∠AOB=60°
方法一
设AB的中点为H(xo,yo),再设P(x,y),
由等边三角形及勾股定理很容易求得OH=3√3/2,也就是说,H点与圆心的距离恒为3√3/2,所以AB的中点H在一个以原点为圆心、半径为3√3/2的圆上,所以xo² +yo² =27/4
由平行四边形法则有：(向量)PA+PB=2PH,代入(向量)PA+PB+3PC=0得(向量) 2PH +3PC=0,即
λ=PH/HC= -3/5
由定比分点公式得
xo=(x +λc) / (1+λ)=[x+(-3/5)c] / [1+(-3/5)]=(5x-3c)/2
yo=(y +λ*0) / (1 +λ)=5y/2
代入xo² +yo² =27/4得[(5x-3c)/2]² +[5y/2]² =27/4
化简即得P点的轨迹方程：
(5x-3c)² +(5y)² =27
方法二
设A(3cosθ,3sinθ),则B(3cos(θ+60°),3sin(θ+60°)),再设P(x,y),则
向量PA=(3cosθ-x,3sinθ-y)
向量PB=(3cos(θ+60°)-x,3sin(θ+60°)-y)
向量PC=(c-x,-y)
代入(向量)PA+PB+3PC=0得
(3cosθ-x,3sinθ-y)+(3cos(θ+60°)-x,3sin(θ+60°)-y)+3*(c-x,-y) =0,化简得到两个方程
①(3cosθ-x)+[3cos(θ+60°)-x]+3*(c-x) =0且②(3sinθ-y)+[3sin(θ+60°)-y]+3*(-y) =0
上面两个等式打开得
①9cosθ-3√3sinθ=10x-6c且②3√3cosθ+9sinθ=10y
两个方程式以cosθ、sinθ为未知数,解得
6√3cosθ=5√3x+5y-3√3c
6√3sinθ=5√3y-5x+3c
两式平方相加并化简,即得P点的轨迹方程：
25x²+25y²-30xc=27-9c²
c有没有包括圆外?