对于函数f(x),若f(x0)=x0,则称x0为f(x)的不动点;若f[f(x0)]=x0,则称x0为f(x)的稳定点.函数f(x)的不动点和稳定点的集合分别记为A和B,即A={x︱f[f(x)]=x}(1)设函数f(x)=3x+4 求集合A和B(2)求证A含于B
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/02 09:59:08
对于函数f(x),若f(x0)=x0,则称x0为f(x)的不动点;若f[f(x0)]=x0,则称x0为f(x)的稳定点.函数f(x)的不动点和稳定点的集合分别记为A和B,即A={x︱f[f(x)]=x}(1)设函数f(x)=3x+4 求集合A和B(2)求证A含于B
对于函数f(x),若f(x0)=x0,则称x0为f(x)的不动点;若f[f(x0)]=x0,则称x0为f(x)的稳定点.函数f(x)的不动点和稳定点的集合分别记为A和B,即A={x︱f[f(x)]=x}
(1)设函数f(x)=3x+4 求集合A和B
(2)求证A含于B
(3)设函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),且A=∅,求证:B=∅
对于函数f(x),若f(x0)=x0,则称x0为f(x)的不动点;若f[f(x0)]=x0,则称x0为f(x)的稳定点.函数f(x)的不动点和稳定点的集合分别记为A和B,即A={x︱f[f(x)]=x}(1)设函数f(x)=3x+4 求集合A和B(2)求证A含于B
1.由f(x)=x,f(x)=3x+4得3x+4=x,解得x=-2
由f[f(x)]=x得3(3x+4)+4=x,解得x=-2
∴A=B={-2}
但A=B不能恒成立,如f(x)为如下对应关系时:
f(1)=1,f(2)=3,f(3)=2
则有A={1},B={1,2,3}使A≠B
(2)
∵A={x|f[f(x)]=x}=∅,
∴ax²+bx+c=x无解
即△=(b-1)²-4a<0
①当a>0时,二次函数y=f(x)-x,即y=ax²-+(b-1)x+c的图象在x轴的上方
∴∀x∈R,f(x)-x恒成立
∴∀x∈R,f(x)>x恒成立
∴∀x∈R,f[f(x)]>f(x)>x恒成立,即B=∅;
②当a<0时,同理可证B=∅;
综上,对于函数f(x)=ax²-+bx+c(a≠0),
当A=∅时,B=∅
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