关于微积分思想与维度的关系小弟刚学二重积分,书上是通过把一个三维空间上物体划分为平面然后求两次积分,那个积分公式最后得出了一个关于自变量X的体积函数,小弟觉得如果我们有关于

关于微积分思想与维度的关系小弟刚学二重积分,书上是通过把一个三维空间上物体划分为平面然后求两次积分,那个积分公式最后得出了一个关于自变量X的体积函数,小弟觉得如果我们有关于
关于微积分思想与维度的关系
小弟刚学二重积分,书上是通过把一个三维空间上物体划分为平面然后求两次积分,那个积分公式最后得出了一个关于自变量X的体积函数,小弟觉得如果我们有关于X的一点,是不是可以让它通过叠加得出一条线,让这条线叠加得到面积,再让这个面叠加得到体积,这样逆过来就是微分,求二重积分就相当于把一个面(自变量X,Y)叠加为体积,计算时我们就通过这个面来减少变量,感觉像是把维度减少了,是不是微积分和维度有什么关系?

关于微积分思想与维度的关系小弟刚学二重积分,书上是通过把一个三维空间上物体划分为平面然后求两次积分,那个积分公式最后得出了一个关于自变量X的体积函数,小弟觉得如果我们有关于
很简单,因为微积分的起源就是用于解决一些实际问题的,而在我们所处的世界是三维的,所以很多实际问题可以先转化成几何等数学模型,然后用微积分的方法解答.
对于你的问题,更准确的说是用空间几何的实际应用来理解微积分.这反映了你不错的空间想象能力,我当年也是这么干的.
不过建议你只用维度这个思想来理解微积分的原理,而不要过多纠缠他们之间的关系：很简单的,我曾经尝试把微积分思想与维度的关系推广至四维,然后我就崩溃了.因为想象一个完备的四维空间（不过推荐查看一下《时间简史》里的光锥模型）本身就是件头疼到让人走火入魔的事,而且微积分在空间中的应用只是其中的一个分支,不是什么问题（至少是在分析的最初阶段）都可以建成x,y,z的坐标系.
以上是愚人拙见.支持你继续进行深入的思考!
还有推荐一下第一推动系列的《数学：确定性的丧失》,或许有所启发.

楼主单独考虑微积分和维度两者之间的关系，虽说有想法，但未免之间树木不见森林，我是说，虽然二者有些关系，但并没有密切到想象的程度。我大概地向量一下，下面这些可能会有用：
先秦思想家荀子，他提出了改(塑)造人性的“积伪”学说。
关于“伪”，这里就不赘言了。荀子的“积”论集中地表述于下面的两段话中：
第1段：“积土成山，风雨兴焉；积水成渊，蛟龙生焉；积善成德，而神明自得，圣心备焉...

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楼主单独考虑微积分和维度两者之间的关系，虽说有想法，但未免之间树木不见森林，我是说，虽然二者有些关系，但并没有密切到想象的程度。我大概地向量一下，下面这些可能会有用：
先秦思想家荀子，他提出了改(塑)造人性的“积伪”学说。
关于“伪”，这里就不赘言了。荀子的“积”论集中地表述于下面的两段话中：
第1段：“积土成山，风雨兴焉；积水成渊，蛟龙生焉；积善成德，而神明自得，圣心备焉。故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海。骐骥一跃，不能十步；驽马十驾，功在不舍。” ----------------摘自 ①《荀子·劝学》
第2段：“故积土而为山，积水而为海，旦暮积谓之岁，至高谓之天，至下谓之地，宇中六指谓之极，涂之人百姓积善而全尽谓之圣人。彼求之而后得，为之而后成，积之而后高，尽之而后圣。故圣人也者，人之所积也。……………居楚而楚，居越而越，居夏而夏。是非天性也，积靡使然也。” ----------------摘自 ②《荀子·儒效》
上面这两段，荀子的说法表明人性的塑造是一个渐进的过程，是一步一步。分阶段地进行的，而每一步的所积都是细微的，人的个性的养成并非一蹴而就。令人惊叹的是荀子这里竟运用了数量方法来描述人性的发展过程，简直与德国18世纪的思想家莱布尼兹的微积分思想相接近。荀子的这段话中还喻示了人的个性发展中的反复性与曲折性。中国古谚中有“十年树木，百年树人”的说法，与此是相一致的。这些都表明了人的心理发展中所具有的隐微性和不可控性。
墨子的“染”论和荀子的“积”论为后代的思想家如汉代的王充、明代的李贽等人所接受并作了进一步的发展、深化，从而形成了中国古代心理学思想史上特有的“渐染论”理论范畴。
****** 数学形式化的必要性和局限性 *******
首先，形式化在整理数学理论体系时是十分必要的，它有助于数学理论体系的简单化、严格化和系统化，为数学内部的和谐统一提供思想基础。我们知道，在任何一个数学领域，人们最初掌握的认识材料，都不可避免是零散的，经验性的，甚至是近似的、表面的、直观的，对很多数学关系的理解和表述要受感性直观或特定原型的影响，夹杂一些非本质的成分。一些逻辑关系的建立很可能是重复的、重迭的，甚至是颠倒的。从初步的认识到理论体系的成熟，需要经历曲折和多次反复。在这个过程中，能够帮助人们不断澄清思想，理出线索，寻找本质联系的工具，就是形式化。由于形式化能够简洁明了地表示纯粹的数量关系，揭示数学抽象物的本质特点，所以能够把数学理论体系的基本逻辑结构突出地表现出来，使人们看清楚各个数学抽象物之间的层次差别和相互关系，把一些非本质的东西排除出去。如果关于一个数学抽象物的表述不能够尽可能地简明和形式化，而是夹杂一些直观的、经验性的说明，那就意味着关于这个数学抽象物的数学抽象不彻底，不可能准确地揭示其本质特征，从而也就不可能严格。
微积分理论的发展就是一个明显的例子。实际上，从古希腊开始，人们就不断思考无限、连续等方面的问题，可以说微积分的思想萌芽一直在生长。可是在其基本概念的表述方面，一直存在着定性思维或几何直观的干扰。关于微积分的简明的形式化的定义直到19世纪才最终获得，也只有到此时才实现了微积分理论的严格化和系统化。对于这一点，美国数学家Carl。B。Boyer评论说：“对微积分发展的一个微妙的因而也是更严重的阻力是在各个阶段中不能对采用的概念给以当时可能作到的简明和形式化的定义。Zeno的疑难是一个最好的例子，说明晦涩难解是由于不能清晰地规定问题的条件和绘出有关名词的形式化定义的后果。”｛参见---Carl。B。Boyer：《微积分概念史》，上海人民出版社1977，第318-319页｝。
不仅数学基本概念如此，对数学公理和基本法则的确定也一样，Euclid几何学公理系统中隐藏的不严格成分，是通过Hilbert的形式公理化工作消除的。Galois之所以能够抽象出“群”这个概念并创立群论，是以对代数方程可解性理论的进一步形式化为基础的。从总体上看，由于形式化能够简明地刻画数学对象的基本结构和本质特征，故而保证了数学的严格性。将各种形式化结构进行比较，可以发现它们的共同特点和本质联系，这就可以保证数学的系统性和统一性。对于逻辑上不够简明清晰的数学理论体系，形式化可以帮助人们发现其繁复累赘之处，并对其进行适当的化归和整理，这样就可以保证数学的简单性。严格性、系统性、简单性和统一性结合起来，构成数学理论形式上的优美性。它是数学形式化发展的顶峰。数学家们所普遍欣赏的“数学美”，就是这种特殊的形式化的美。
形式化的另一个重要作用，是有助于数学的发现和创造。由于形式化能够使数学理论体系的基本逻辑结构突出地表现出来，便于人们发现数学前沿的边界，掌握待解决问题的症结，所以形式化本身能够成为数学发现和创造的重要工具。已有数学知识的形式结构，可以为探索和确定未知的数学形式结构提供类比的基础或借鉴的原型，这类例子在数学史上是屡见不鲜的。美国数学家C。Polya①在《数学与猜想》一书中曾列举了许多通过类比导致数学发现的事例。如数与形的类比、有限与无限的类比。他在说到类比的条件时指出：“两个系统可作类比，如果它们各自的部分之间，在其可以清楚定义的一些关系上一致的话。”显然，只有充分的形式化才能够满足这一条件②。
但是需要注意，在将形式化用于数学发现和创建时，必须慎重，否则会造成悖论。我国逻辑学家吴允曾将这种情况称之为“形式化方法中的陷阱”。他指出，早期集合论中曾采用概括性原理，即对于任一给定的集合S，存在一谓词F，使得谓词F恰好构成集合S，的所有元素共同具有的性质；对于任一给定的谓词F，存在一集合S，使得谓词F恰好构成集合S的所有元素共同具有的性质。概括性原理的后一半实际上不能成立，因为有些任意定义出来的谓词并不存在集合与之对应。著名的Russell悖论就是如此，它涉及的集合(“所有不包含自身的集合构成的集合”)可以定义出来，但事实上并不存在。因此，在引进一新定义的谓词时，必须论证与之对应的集合是存在的。③形式化中这个“陷阱”的存在表明，在使用形式化方法时，必须牢记形式化是数学思想的记录，是客观世界数量关系的反映。形式化的思维必须立足于科学基础之上。数学形式结构是创造出来的，但不是主观臆造的产物。如同一切科学领域中的发明创造一样，形式结构的发明创造也要受数学发展中各种客观条件和内容的制约。
①G.Polya：《数学与猜想》(第一卷)，科学出版社，1984,第26页。
②同上，第13页。
③吴允曾：《关于形式化的几个问题》，载于《哲学研究》，1986，第12期
********* 莱布尼兹和牛顿 ************
莱布尼兹是17世纪伟大的哲学家。他在牛顿之前发表了他的微积分研究成果。但是当时牛顿公布了他的私人笔记，说明他至少在莱布尼兹发表其成果的10年前已经运用了微积分的原理。牛顿还说，在莱布尼兹发表其成果的不久前，他在给莱布尼兹的信中谈起过自己关于微积分的思想。但是事后的研究说明，牛顿的这封信中，有关微积分的几行字几乎没有涉及这一理论的任何重要之处。

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思想很好，查一下Stokes公式（在高唯空间的）。
前途无量

微积分就是把宏观和微观联系起来。从微观着手，从极限小处着手，通过叠加等方式推导出宏观规律。
用来计算面积、体积的时候那么就是和维度有关了。
面积就是2个长度的极限小度量相乘、叠加，所以会和2个维度有关。
体积就是3个长度的极限小度量相乘、叠加，所以会和3个维度有关。...

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微积分就是把宏观和微观联系起来。从微观着手，从极限小处着手，通过叠加等方式推导出宏观规律。
用来计算面积、体积的时候那么就是和维度有关了。
面积就是2个长度的极限小度量相乘、叠加，所以会和2个维度有关。
体积就是3个长度的极限小度量相乘、叠加，所以会和3个维度有关。

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