已知│a│=√2,│b│=3,a与b的夹角为45°,当向量a+λb与λa+b的夹角为锐角时,求实数λ的范围.ab为向量

已知│a│=√2,│b│=3,a与b的夹角为45°,当向量a+λb与λa+b的夹角为锐角时,求实数λ的范围.ab为向量
已知│a│=√2,│b│=3,a与b的夹角为45°,当向量a+λb与λa+b的夹角为锐角时,求实数λ的范围.ab为向量

已知│a│=√2,│b│=3,a与b的夹角为45°,当向量a+λb与λa+b的夹角为锐角时,求实数λ的范围.ab为向量
ab=|a||b|cos45°=3
则向量a+λb与λa+b的夹角是锐角时有：
(a+λb)(λa+b)>0
则
λa²+(1+λ²)ab+λb²>0
3λ²+11λ+3>0
λ>(-11+√85)/6,或λ(-11+√85)/6,或λ

已知│a│=√2，│b│=3，a与b的夹角为45°，当向量a+λb与λa+b的夹角为锐角时，求实数λ的范围。
设b=(3，0)；a=((√2)cos45°，(√2)sin45°)=(1，1)；于是：
a+λb=(1+3λ，1)；︱a+λb︱=√[(1+3λ)²+1]=√(9λ²+6λ+2)
λa+b=(λ+3，λ)； ︱λa+b︱=√[(λ+3)...

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已知│a│=√2，│b│=3，a与b的夹角为45°，当向量a+λb与λa+b的夹角为锐角时，求实数λ的范围。
设b=(3，0)；a=((√2)cos45°，(√2)sin45°)=(1，1)；于是：
a+λb=(1+3λ，1)；︱a+λb︱=√[(1+3λ)²+1]=√(9λ²+6λ+2)
λa+b=(λ+3，λ)； ︱λa+b︱=√[(λ+3)²+λ²]=√(2λ²+6λ+9)
设a+λb与λa+b的夹角为α，则有：
0由于(9λ²+6λ+2)和(2λ²+6λ+9)的判别式Δ=36-72=-36<0，故对任何λ恒有9λ²+6λ+2>0，和
2λ²+6λ+9>0.....(1)，所以可去分母得：
于是得0<(3λ²+11λ+3)<√[(9λ²+6λ+2)(2λ²+6λ+9)]
由于分子的判别式Δ=121-36=85>0，故应取λ<(-11-√85)/6，或λ>(-11+√85)/6，且满足不等式：
0<(3λ²+11λ+3)²<(9λ²+6λ+2)(2λ²+6λ+9)
展开化简得9λ⁴-18λ²+9>0，即有λ⁴-2λ²+1=(λ²-1)²>0，故λ≠±1........(2)。
(1)∩(2)={λ︱λ<(-11-√85)/6，或λ>(-11+√85)/6且λ≠1}。

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a.a=|a|^2, b.b=|b|^2, a.b=|a||b|cos45°，
设r=a+λb，s=λa+b，
则|r|=√(|a|^2+|λb|^2+2|a||λb|cos45°)
=√(|a|^2+λ^2|b|^2+2|a|λ|b|cos45°)
=√((√2)^2+λ^2*3^2+2√2λ*3*√2/2)
=√(9λ^2+6λ+2)
|s|=√...

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a.a=|a|^2, b.b=|b|^2, a.b=|a||b|cos45°，
设r=a+λb，s=λa+b，
则|r|=√(|a|^2+|λb|^2+2|a||λb|cos45°)
=√(|a|^2+λ^2|b|^2+2|a|λ|b|cos45°)
=√((√2)^2+λ^2*3^2+2√2λ*3*√2/2)
=√(9λ^2+6λ+2)
|s|=√(|λa|^2+|b|^2+2|λa||b|cos45°)
=√(λ^2|a|^2+|b|^2+2λ|a||b|cos45°)
=√((√2)^2*λ^2+3^2+2λ*√2*3*√2/2)
=√(2λ^2+6λ+9)
则r.s=(a+λb).(λa+b)
=(λ^2+1)a.b+λ(a.a+b.b)
=(λ^2+1)|a||b|cos45°+λ(|a|^2+|b|^2)
=(λ^2+1)√2*3*√2/2+λ(2+9)
=3λ^2+11λ+3
=|r||s|cos(r,s)
∵r与s夹角为锐角，∴0∴cos(r,s)=(r.s)/(|r||s|)
=(3λ^2+11λ+3)/[√(9λ^2+6λ+2)*√(2λ^2+6λ+9)]∈(0,1)
即3λ^2+11λ+3>0且(3λ^2+11λ+3)/[√(9λ^2+6λ+2)*√(2λ^2+6λ+9)]<1
整理简化得3λ^2+11λ+3>0且(λ^2-1)^2>0
解此不等式组得 λ>(-11+√85)/6 或 λ<(-11-√85)/6 且 λ≠±1
∴实数λ的取值范围为：(-∞,(-11-√85)/6)∪((-11+√85)/6,1)∪(1,+∞)

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