什么是“海伦公式”?

什么是“海伦公式”?
什么是“海伦公式”?

什么是“海伦公式”?
海伦公式的几种另证及其推广
关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有：
设△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,ha为a边上的高,R、r分别为△ABC外接圆、内切圆的半径,p = (a+b+c),则
S△ABC = aha= ab×sinC = r p
= 2R2sinAsinBsinC =
=
其中,S△ABC = 就是著名的海伦公式,在希腊数学家海伦的著作《测地术》中有记载.
海伦公式在解题中有十分重要的应用.
一、 海伦公式的变形
S=
= ①
= ②
= ③
= ④
= ⑤
二、 海伦公式的证明
证一 勾股定理
分析：先从三角形最基本的计算公式S△ABC = aha入手,运用勾股定理推导出海伦公式.
证明：如图ha⊥BC,根据勾股定理,得:
x = y =
ha = = =
∴ S△ABC = aha= a× =
此时S△ABC为变形④,故得证.
证二：斯氏定理
分析：在证一的基础上运用斯氏定理直接求出ha.
斯氏定理:△ABC边BC上任取一点D,
若BD=u,DC=v,AD=t.则
t 2 =
证明：由证一可知,u = v =
∴ ha 2 = t 2 = －
∴ S△ABC = aha = a ×
=
此时为S△ABC的变形⑤,故得证.
证三：余弦定理
分析：由变形② S = 可知,运用余弦定理 c2 = a2 + b2 －2abcosC 对其进行证明.
证明：要证明S =
则要证S =
=
= ab×sinC
此时S = ab×sinC为三角形计算公式,故得证.
证四：恒等式
分析：考虑运用S△ABC =r p,因为有三角形内接圆半径出现,可考虑应用三角函数的恒等式.
恒等式：若∠A+∠B+∠C =180○那么
tg · tg + tg · tg + tg · tg = 1
证明：如图,tg = ①
tg = ②
tg = ③
根据恒等式,得：
+ + =
①②③代入,得：
∴r2(x+y+z) = xyz ④
如图可知：a＋b－c = (x+z)＋(x+y)－(z+y) = 2x
∴x = 同理：y = z =
代入 ④,得：r 2 · =
两边同乘以 ,得：
r 2 · =
两边开方,得：r · =
左边r · = r·p= S△ABC 右边为海伦公式变形①,故得证.
证五：半角定理
半角定理：tg =
tg =
tg =
证明：根据tg = = ∴r = × y ①
同理r = × z ② r = × x ③
①×②×③,得：r3 = ×xyz

高中反正都不会学，最多作补充，课外知识

海伦公式:三角形三边为a,b,c. 其面积S=根号(p*(p-a)*(p-b)*(p-c)) 其中p=(a+b+c)/2。
海伦公式(Heron's formula)，又译希伦公式、海龙公式，传说是古代的叙拉古国王希伦二世发现的公式， 利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据 Morris Kline 在1908年出版的著作考证，这条公式其实是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表。

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海伦公式:三角形三边为a,b,c. 其面积S=根号(p*(p-a)*(p-b)*(p-c)) 其中p=(a+b+c)/2。
海伦公式(Heron's formula)，又译希伦公式、海龙公式，传说是古代的叙拉古国王希伦二世发现的公式， 利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据 Morris Kline 在1908年出版的著作考证，这条公式其实是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表。
假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：
设p是周长的一半，就是讲p=(a+b+c)/2,则三角形的面积为：s=根号下〔p*(p-a)*(p-b)*(p-c)〕
嘻嘻哈哈多谢楼上两位

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没听说过已知圆内接四边形四条边长求面积的简单表达式，不过通过四边形内接于圆可以画一对角线分成两三角形再用海伦公式，根据圆内接四边形对角互补设某对角线长为x，很容易得到：
(a²+b²-x²)/2ab+(c²+d²-x²)/2cd=0算出x即可。 ...

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没听说过已知圆内接四边形四条边长求面积的简单表达式，不过通过四边形内接于圆可以画一对角线分成两三角形再用海伦公式，根据圆内接四边形对角互补设某对角线长为x，很容易得到：
(a²+b²-x²)/2ab+(c²+d²-x²)/2cd=0算出x即可。

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什么是海伦公式,及其应用和扩展.如何证明? 海伦公式的几种另证及其推广 关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有： 设△ABC中，a、b、c分别为

偶不懂

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