作业帮在△ABC中,当sinA+sinB=sinC(cosA+cosB)试判断△ABC的形状,
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 00:36:09
在△ABC中,当sinA+sinB=sinC(cosA+cosB)试判断△ABC的形状,
在△ABC中,当sinA+sinB=sinC(cosA+cosB)试判断△ABC的形状,
在△ABC中,当sinA+sinB=sinC(cosA+cosB)试判断△ABC的形状,
根据正弦定理,原式可变形为：
c(cosA+cosB)=a+b.①
∵ 根据任意三角形射影定理（又称“第一余弦定理”）：
a＝b·cosC＋c·cosB
b＝c·cosA＋a·cosC
∴ a+b=c(cosA+cosB)+cosC(a+b).②
由于a+b≠0,故由①式、②式得：
cosC=0
因此,在△ABC中,∠C=90°.
方法二:
即a+b=c(cosA+cosB)=(c^2+b^2-a^2)/(2b)+(c^2+a^2-b^2)/(2a)
也就是2a+2b=c^2(1/b+1/a)+a+b-(a^2/b+b^2/a)
两边同时约去a+b得
2=c^2/ab+1-(a^2+b^2-ab)/ab
即c^2=a^2+b^2
C为90°
∵sinA+sinB=sinC*(cosA+cosB)
∴2sin[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2]=sinC*2cos[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2]
即sin[(π-C)/2]=sinC*cos[(π-C)/2]
∴sin(π/2-C/2)=2sin(C/2)*cos(C/2)*cos(π/2-C/2)
全部展开
∵sinA+sinB=sinC*(cosA+cosB)
∴2sin[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2]=sinC*2cos[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2]
即sin[(π-C)/2]=sinC*cos[(π-C)/2]
∴sin(π/2-C/2)=2sin(C/2)*cos(C/2)*cos(π/2-C/2)
∴cos(C/2)=2sin(C/2)*cos(C/2)*sin(C/2)
则2sin²(C/2)=1
∴sin(C/2)=√2/2
∴C/2=π/4或C/2=3π/4
∴C=π/2或C=3π/2(舍去)
∴△ABC是以C为直角的直角三角形
收起
即sinA/sinC+sinB/sinC=cosA+cosB
a/c+b/c=(b²+c²-a²)/2bc+(a²+c²-b²)/2ac
所以2a²b+2ab²=ab²+ac²-a³+a²b+bc²-b³
ab(a+b)=c²(a+b)-(a+b)(a²-ab+b²)
c²=a²+b²
直角三角形