求关于一元二次方程组的应用 的题（必须有答案）

求关于一元二次方程组的应用 的题（必须有答案）
求关于一元二次方程组的应用 的题（必须有答案）

求关于一元二次方程组的应用 的题（必须有答案）
例1．某人用1000元人民币购买一年期的甲种债券,到期后兑换人民币并将所得利息购买一年期的乙种债券,若乙种债券的年利率比甲种债券低2个百分点,到期后某人的乙种债券可兑换人民币108元,求甲种债券的年利率.
　　分析：利息=本金×利率×存期
　　本息=本金+利息
　　甲种债券利息×（1+乙种债券利率）×存期=108
　　设甲种债券的年利率为x,依题意,甲种债券的利息为1000x元,乙种债券的年利率为x-0.02,则
　　1000x(1+x-0.02)=108
　　整理得：250x2+245x-27=0
　　(10x-1)(25x+27)=0
　　x1=0.1　　 x2=-
　　∵x2=-不合题意,舍去
　　∴x=0.1=10%
　　答：甲种债券的年利率为10%.
　　例2．某电厂规定该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过A度,那么这个月这户只需交10元用电费,如果超过A度,则这个月除了仍要交10元用电费外,超过部分还要按每度元交费.
　　（1）该厂某户居民2月份用电90度,超过了规定的A度,则超过部分应该交电费多少元（用A表示）
　　（2）下表是这户居民3月、4月的用电情况和交费情况：
月份
用电量（度）
交电费总数（元）

3月
80
25

4月
45
10

　　根据上表的数据,求电厂规定A度为多少?
　　分析：本题是原于现实生活中的经济问题,情景熟悉,但问题有障碍,不能直接看出问题的答案,必须认真阅读和思考
问题（1）较简单,超过部分应交电费(90-A)元,问题（2）,从表中看到,45　　10+(80-A)=25
　　整理得,A2-80A+1500=0
　　解得：A1=50　 A2=30
　　但A2=30<45,不合题意舍去
　　∴A=5
　　解略.
　　例3．某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元,为了扩大销售,增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施,经调查发现,如果每件衬衫每降价1元,商场平均每天可多售出2件.
　　若商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫应降价多少元?
　　设每件衬衫应降价x元,
　　由题意可得：
　　(40-x)(20+2x)=1200
　　整理,得x2-30x+200=0
　　x1=10　 x2=20
　　根据题意x=10不合题意,舍去　　　　
　　所以x=20
答：每件衬衫应降价20元.
　　说明：此题是一元二次方程在市场经济中的应用,利用已知条件,列方程,解方程都比较简单,但得出方程的根后,考查它们是否符合题意是个难点,已知中有“尽快减少库存”的要求,而每降低1元,则平均每天可售出2件,所以x=10,不合题意舍去.
　　例4．某工程由甲、乙两队合做6天完成,厂家需付甲、乙两队共8700元,乙、丙两队合做10天完成,厂家需付乙、丙两队共9500元,甲、丙两队合做5天完成全部工程的,厂家需付甲、丙两队共5500元.
　　（1）求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天?
　　（2）若工期要求不超过15天完成全部工程,问可由哪队单独完成此项工程花钱最少?请说明理由.
　　分析：此题是用数学知识解决简单的生产问题,这也是初中数学的教学目的.
　　第一问是工程问题,工程问题中有三个量：工作总量,工作效率,工作时间,这三个量之间的关系是：工作总量=工作效率×工作时间.
　　第二问只要求出每天应各付甲、乙、丙各队多少 钱,并由第一问求出甲、乙、丙各队单独完成这项工作所需的天数,即可求出在规定时间内单独完成此项工程哪个队花钱最少.
　　（1）设甲队单独做x天完成,乙队单独做y天完成,丙队单独做z天完成
　　由题意可得：　
　　解这个方程组得：　
经检验此解是所列方程组的解
　　答：甲队单独做10天完成,乙队单独做15天完成,丙队单独做30天完成.
　　（2）设付给甲队一天a元,付给乙队一天b元,付给丙队一天c元
　　
　　解这个方程组得　　　　
　　
　　又∵规定时间要求不超过15天　　
　　∴不能用丙队,　　　　　　　　　　　　　
　　∵10a=8000（元）　　 15b=9750（元）
　　答：由甲队单独完成此工程花钱最少.
　　说明：数学教学新大纲中要求“能够运用所学知识解决简单的实际问题”.能够解决实际问题是指：能够解决带有实际意义和相关学科中的数学问题,以及解决生产和日常生活中的实际问题；能够使用数学语言表达问题,展开交流,形成用数学解决实际问题的意识,以上四题就反映了新大纲要求,这种形式的问题频繁出现在近两年的中考试卷中,这应引起我们的重视.
　　例5．A、B两地间的路程为15千米,早晨6时整,甲从A地出发步行前往B地,20分钟后,乙从B地出发骑车前往A地,乙到达A地后停留40分钟,然后骑车按原路原速返回,结果甲、乙两人同时到达B地,如果乙骑车比甲步行每小时多走10千米,问几点钟甲,乙两人同时到达B地?
　　分析：此题是行程问题,行程问题中有三个基本量：速度、时间、路程,并且路程=速度×时间.此题若间接设元,设甲步行每小时走x千米,乙骑自行车每小时走(x+10)千米,又已知AB两地路程为15千米,则可利用甲乙所用的时间找等量关系.
　　设甲步行每小时走x千米,
　　则乙骑车每小时走(x+10)千米
　　由题意得：+1=
　　整理得：x2+25x-150=0
　　解这个方程得：x1=5,x2=-30
　　经检验：x1=5,x2=-30都是所列方程的根,
　　但x=-30不合题意舍去
　　∴x=5
　　这时 15÷5=3（小时）
　　答：上午9点整,甲、乙两人同时到达B地.
　　例6．甲、乙两车同时从A地出发,经过C地去B地,已知C、B相距180千米,出发时,甲每小时比乙多行5千米,因此,乙经过C地比甲晚半小时,为赶上甲,乙从C地将车速每小时增加10千米,结果两车同时到达B,求两车出发时速度?
　　分析：解决此题的关键是：从C地到B地,甲比乙多走半小时.
　　设乙速为x千米/时.
　　则甲速为(x+5)千米/时
　　 - =
　　整理得：x2+15x-1750=0
　　解这个方程：x1=35, x2=-50
　　经检验：x1=35,x2=-50都是所列方程的根
　　但x=-50不合题意,舍去
　　∴x=35
　　∴x+5=35+5=40
　　答：甲出发时速度为40千米/时,乙出发时速度为35千米/时.
　　例7．甲乙两人分别从A、B两地同时同向出发,甲经过B地后,再经过3小时12分在C地追上乙,这时两人所走的路程和为36千米,而A、C两地的距离等于乙走5小时的路程,求A、B两地的距离?
　　分析：此题间接设元比较方便,如可设甲、乙两人速度分别为x千米/时,y千米/时,可以利用“两人所走的路程和为36千米”及“甲从A到C所用的时间与乙从B到C所用的时间相等”这两个等量关系建立方程组.
　　设甲速为x千米/时,乙速为y千米/时
　　则AC长5y千米,BC长为 x千米（3小时12分=小时）
　　AB长(5y-x)千米
　　由题意可得　
　　解这个方程组得：
　　经检验它们都是所列方程组的解
　　又∵　 不合题意舍去
　　∴ 　
　　∴　5y-x=5×4- =4
　　答：A、B两地长4千米.
测试
　　A组选择题（每小题20分）
　　1.某经济开发区今年一月份工业产值达50亿元,第一季度总产值175亿元,问二月、三月平均每月的增长率是多少?设平均每月增长的百分率为x,根据题意得方程为
　　（A）50(1+x)2=175　　　　　　　　　 （B）50+50(1+x)2=175
　　（C）50(1+x)+50(1+x)2=175　　　　　 （D）50+50(1+x)+50(1+x)2=175
　　2.甲、乙两队学生绿化校园,两队合作6天可以完成,若单独工作,甲队比乙队少用五天,两队单独工作,各需要多少天完成?
　　若设甲队单独工作需要x天完成,则根据题意得到的方程是（　　 ）.
　 （A） =6 　　　　 （B）=6　 （C）6( )=1　　　 （D）=1
　　B组选择题（每小题30分）
　　1.某村有若干人准备用平均集资的方法筹集数万元开发小区,消息传出后,又有3位村民认为开发项目对头,申请参加,于是每人可少集资3000元；最后收款时,又增加1人,再次使每人的平均集资数减少600元,问该村开始时有多少人集资?共集资多少元?
　　解如下：设最初集资人数为x,每人平均集资y元,依题意,列出方程组：
　　解法一：
　　
　　解法二：由隐含着的“出入相补”原理,得方程组：
　　
　　解法三：由隐含着的“出入相补”原理,得方程组：
　　
　　以上有三种解法,其中错误的是：
　 （A）解法一　　 （B）解法二　　　 （C）解法三　　 （D）都正确.
　　2.甲、乙两列车,分别从相距300千米的A、B两车站同时相向出发,相遇后,甲车再经过4小时到B站,乙车再经过9小时到A站,求甲、乙各车的速度.
　　解法一：设甲车的速度为x千米/小时,乙车的速度为y千米/小时,根据题意,得：
　　
　　解法二：设甲车的速度为x千米/小时,乙车的速度为y千米/小时,
　　根据甲乙两车相遇时间相等,而相遇后至停止相差9-4=5小时,亦为全程时间差为5小时,据此得方程：
　　
　　解法三：间接设未知数,设相遇时,甲、乙各行了x小时.
　　根据题设得方程：×4+ ×9=300
　　即 +=1,
　　得x2=36, x=±6 (-6不合题意,舍去.)
　　所以v甲==30（千米/小时）,
　　v乙==20（千米/小时）,
　　以上解法正确的有：
　 （A）一种　 （B）两种　 （C）三种　 （D）没有正确解法.
答案与解析
　　A组答案：1、D　　　 2、C　　　 B组答案：1、C　　　 2、C
　　B组解析：
　　1、解题策略：一是按有关的几个基本量列表,未知数用相应的字母代替,可有助于理清题意,如：

　　集资人数
　　平均集资数
　　总额

　　开始时
　　x
　　y
　　z

　　第一次增人后
　　x+3
　　y-3000
　　z

　　第二次增人后
　　x+4
　　y-3000-600
　　z

　　二是根据出入相补原理：原来集资每人减少总额（出）,由新增集资人承担（入）.
　　解法一：设最初集资人数为x,每人平均集资y元,依题意,列出方程组：
　　
　　解之得：
　　所以 z=xy=54000（元）.
　　答：原来有6人集资,出集资5.4万元.
　　解法二：由隐含着的“出入相补”原理,得方程组：
　　
　　第三种解法错误,注意题中“再次使每人的平均集资数减少600元”是指在减少3000元的基础上再减少600元,实为减少3600元,不能理解为2400元.
　　2．解题策略：画出分析图,是解行程问题的有效办法.
　　　
　　利用不同线条区分不同速度的运动体是个好办法,便于弄清题目的条件.
　　解法一：设甲车的速度为x千米/小时,乙车的速度为y千米/小时,根据题意,得：
　　
　　由(2)得 9y2=4x2,
　　3y=2x　 （因x,y 都是正的,故舍去负的）.
　　解得：
　　经检验,这个解满足题设要求.
　　答：甲车速度为30千米/小时,乙车速度为20千米/小时.
　　解法二：如上所述,根据甲乙两车相遇时间相等,而相遇后至停止相差9-4=5小时,亦为全程时间差为5小时,据此得方程：
　　　　（以下略）.
　　解法三：间接设未知数,设相遇时,甲、乙各行了x小时.
　　根据题设得方程：×4+ ×9=300
　　即 +=1,
　　得x2=36, x=±6 (-6不合题意,舍去.)
　　所以v甲==30（千米/小时）,
　　v乙==20（千米/小时）.
　　以上三种解法都正确.
列方程解应用题
　　考点
　　1．会列出方程或方程组解应用题.
　　2．通过列方程解应用题,进一步提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力.
　　考题评析　　
　　1．（广州市）某商场销售商品收入款,3月份为25万元,5月份为36万元,该商场这两个月销售商品收入款平均每月增长的百分率是多少?
　　考点：一元二次方程的应用
　　评析：首先用3月份收入款及增长率（x）表示5月份的收入款根据5月份的实际额列方程25(1+x)2=36.
　　答案：20%
　　注：（1）解一元二次方程要求出两解,根据实际再取舍.
　　（2）结果要化成百分数的形式.
　　2．（成都市）某科技公司研制成功一种新产品,决定向银行贷款200万元资金用于生产这种产品,签订的合同上约定两年到期时一次性还本付息,利息为本金的8%,该产品投放市场后,由于产销对路,使公司在两年到期时除还清贷款的本金和利息外,还盈余72万元,若该公司在生产期间每年比上一年资金增长的百分数相同,试求这个百分数.
　　考点：一元二次方程的应用.
　　评析：两年后的产值是列方程的难点,也是此题的难点,即两年后的产值为本息和加盈利[200（1+8%）+72],由题意不难列出方程200(1+x)2=72+200(1+8%),(x为所求百分数).
　　设这个百分数为x.
　　依题意,列出方程为　 200(1+x)2=72+200(1+8%).
　　化简,得200(1+x)2=288,
　　即(1+x)2=1.44.
　　解得x1=0.2=20%,x2=-2.2（不合题意,舍去）.
　　答：该公司资金增长的百分数为20%.　
　　3．（昆明）某厂工业废气年排放量为450万立方米,为改善昆明市的大气环境质量,决定分二期投入治理,使废气的年排放量减少到288万立方米,如果每期治理中废气减少的百分率相同.
　　（1）求每期减少的百分率是多少?
　　（2）预计第一期治理中每减少1万立方米废气需投入3万元,第二期治理中每减少1万立方米废气需投入4.5万元,问两期治理完成后共需投入多少万元?
　　（1）设每期减少的百分率为x.　　　　　　1分
　　据题意,得：450(1-x)2=288　　　　　　3
　　(1-x)2=0.64
　　解得：x=1±0.8
　　∴ x1=0.2, x2=1.8(不合题意,舍去)　　　　　　5分
　　∴每期减少的百分率为20%.
　　（2）∵ 450·(1-20%)=360
　　∴第一期减少的废气450-360=90（万立方米）　　　　　　6分
　　又∵第二期减少的废气360-288=72（万立方米）　　　　　　7分
　　则共需投入3×90+4.5×72=594（万元）　　　　　　8分
　　答：（1）每期减少的百分率为20%,（2）两期治理完成后共需投入594万元　　　　　　9分
　　4．（辽宁省）列方程解应用题：
　　某顾客第一次在商店买若干件小商品花去5元,第二次再去买该小商品时,发现每一打（12件）降价0.8元,他比第一次多买了10件,这样,第二次共花去2元,且第二次买的小商品恰好成打,问他第一次买的小商品是多少件?
　　考点：列分式方程解应用题
　　评析：思路：设第一次买的小商品为x件,则第二次为（x+10）件分别表示出每件的价格,两次的价格差即为每件小商品所降的价格,列出分式方程,可解决此题.
　　说明：求出未知数的值,必须检验,不但使方程成立,还必须符合实际.
　　设他第一次买的小商品为x件.
　　根据题意,得
　　
　　去分母,整理得x2-35x-750=0.
　　解得x1=50,x2=-15.
　　经检验x1=50,x2=-15都是原方程的根.
　　但x=-15不合题意,舍去,所以只取x=50.
　　答:他第一次买小商品50件.
　　5．（北京市海淀区）列方程或方程组解应用题：
　　为了响应节水号召,小红家要使200m3的水比过去多用5个月,计划每月比过去少用水2m3,问小红家计划每月用多少水?
　　考点：列方程（组）解应用题.
　　评析：列方程（或组）解应用题的关系是通过审题,找到等量关系,设未知数列方程（组）就容易了,(其中x为原来每天的用水量)x=10m3,所以计划每月的用水量为8m3.
　　6．（山西省）列方程解应用题：
　　A、B两地相距80千米,一辆公共汽车从A地出发,开往B地,2小时后,又从A地同方向开出一辆小汽车,小汽车的速度是公共汽车的3倍,结果小汽车比公共汽车早40分钟到达B地,求两种车的速度.
　　 设公共汽车的速度为x千米/时,则小汽车速度为3x千米/时
　　依题意,得.　　
　　解之,得x=20
　　经检验:x=20是所列方程的解, ∴3x=60
　　答：公共汽车速度为20千米/时,小汽车速度为60千米/时.