作业帮直三棱柱的底面边长分别为3、4、5,高为6,将这个直三棱柱削成圆柱,求削去部分体积最小值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 05:44:21
直三棱柱的底面边长分别为3、4、5,高为6,将这个直三棱柱削成圆柱,求削去部分体积最小值
直三棱柱的底面边长分别为3、4、5,高为6,将这个直三棱柱削成圆柱,求削去部分体积最小值
直三棱柱的底面边长分别为3、4、5,高为6,将这个直三棱柱削成圆柱,求削去部分体积最小值
1,边长3的：
内接圔半径=√ 3/2=0,866
削去部分体积最小值=(3x0,866x3)/2x6-0,866 ²π x6
=23,282-14,136=9,146
2,边长4的：
内接圔半径=2/0,866/2=1,1547
削去部分体积最小值=(4x0,866x4)/2x6-1,1547 ²π x6
=41,568-25,1327=16,435
3,边长5的：
内接圔半径=2,5/0,866/2=1,4434
削去部分体积最小值=(5x0,866x5)/2x6-1,4434 ²π x6
=86,6-39,27=47,34
这个问题也就求三棱柱中能容纳的圆柱体的最大体积。
我认为，当这个圆柱的一个端面和棱柱的一个表面重合时，能取到的体积是最大的（没有严格证明，，只是觉得比斜着塞进去大）
如果上述假设成立的话，那么有4种可能：345面作为端面，36和对应斜边作为端面，46和对应斜边作为端面，5和另两条斜边作为端面。
以345面作为端面的话，可以计算出345面容纳的最大圆半径=3*4/(3+4+5...
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这个问题也就求三棱柱中能容纳的圆柱体的最大体积。
我认为，当这个圆柱的一个端面和棱柱的一个表面重合时，能取到的体积是最大的（没有严格证明，，只是觉得比斜着塞进去大）
如果上述假设成立的话，那么有4种可能：345面作为端面，36和对应斜边作为端面，46和对应斜边作为端面，5和另两条斜边作为端面。
以345面作为端面的话，可以计算出345面容纳的最大圆半径=3*4/(3+4+5)=1,若取得圆柱高为h，把高于h部分棱柱削掉，出现的那个平面就是圆柱的上端面。那么根据相似原理，上端面所能容纳的最大圆半径为(6-h)/6*1=1-h/6。
那么这个圆柱的体积就是pi*h*(1 - h/6)^2，容易求得，当h=2时，这种取法的圆柱体积最大，为8pi/9.
其他几种情况的求法类似（不过都是斜边的那种计算会麻烦些），所求得的四个最大值中的最大值，就是能取得圆柱最大体积。用棱柱体积减去就得到削去部分体积。
或者可以认为，都是斜边的那一面作为端面，所能容纳的体积肯定最大，因为那个面的面积最大，所能取得圆半径比较大，尽管对应的高度比较低，但是半径是平方项，作用肯定比高度重要，所以你可以直接去计算那个面作为端面的圆柱体体积。虽然没有证明，但那个应该就是最大体积了。
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