求f(x,y)=x^2-y^2+2在椭圆域D={(x,y)▕x^2+y^2/4≤1}上的最大值和最小值

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/11 21:55:51

求f(x,y)=x^2-y^2+2在椭圆域D={(x,y)▕x^2+y^2/4≤1}上的最大值和最小值
求f(x,y)=x^2-y^2+2在椭圆域D={(x,y)▕x^2+y^2/4≤1}上的最大值和最小值

求f(x,y)=x^2-y^2+2在椭圆域D={(x,y)▕x^2+y^2/4≤1}上的最大值和最小值
你是想用Lagrange乘子函数来做吧.
先考虑区域内部的驻点:
令af/ax=2x=0,af/ay=-2y=0,解得
x=y=0,即(0,0)是区域内部的驻点,f(0,0)=2.
再考虑边界.为此,
令F(x,y)=x^2-y^2+2+c(x^2+y^2/4-1),
aF/ax=2x+2cx=0 (1)
aF/ay=-2y+yc/2=0 (2)
由(1)得x=0或c=-1
因此由边界方程得x=0时y=2或y=-2;
由(2)得y=0或c=4,
类似有x=1或x=-1,因此4个边界驻点为
(0,2),(0,-2),(1,0),(-1,0);
对应的函数值为-2,-2,3,3;
与(0,0)的函数值比较知道:
最大值点是(1,0)和(-1,0),最大值是3;
最小值点是(0,2)和(0,-2),最小值是-2.
当然,本题可以直接从边界方程中解出x^2=1-y^2/4代入
f(x,y)中,利用单变元的知识解决.