如图,把正方形ACFG与Rt△ACB按如图(甲)所示重叠在一起,其中AC=2,∠BAC=600,若把Rt△ACB绕直角顶点C按顺时针方向旋转,旋转角α,且0°≤α≤90°,旋转后的三角形为△A′B′C,A B分别与A′C、A′B′相交

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/30 01:19:48

如图,把正方形ACFG与Rt△ACB按如图(甲)所示重叠在一起,其中AC=2,∠BAC=600,若把Rt△ACB绕直角顶点C按顺时针方向旋转,旋转角α,且0°≤α≤90°,旋转后的三角形为△A′B′C,A B分别与A′C、A′B′相交
如图,把正方形ACFG与Rt△ACB按如图(甲)所示重叠在一起,其中AC=2,∠BAC=600,若把Rt△ACB绕直角顶点C按顺时针方向旋转,旋转角α,且0°≤α≤90°,旋转后的三角形为△A′B′C,A B分别与A′C、A′B′相交于D、E,A′B′与正方形的边的交点为P.
（1）若斜边AB恰好经过正方形ACFG的顶点F,如图(乙)所示.
①.△ACB旋转多少度才能得到△A′B′C?说明理由.30
②.求△ACB与△A′B′C的重叠部分(即四边形CDEF)的面积.
（2）当α为多少度时?△AD A′为等腰三角形.
（3）α从0°至90°,在整个旋转过程中,求点P移动的距离.
（1）①解析：∵正方形ACFG与Rt△ACB,斜边AB恰好经过正方形ACFG的顶点F,AC=2,∠BAC=60°
∴△A‘FC为正三角形,
∴△ACB旋转90-60=30°能得到△A′B′C
②解析：△ACB与△A′B′C的重叠部分为正三角形A’FC-Rt△A′DE (即四边形CDEF)
A’C⊥AB
∴△ACD∽△A’ED,AD=1,CD=√3==>A’D=2-√3==>DE=√3(2-√3)=2√3-3
∴△A’ED面积=1/2*A’D*DE=1/2(2-√3)( 2√3-3)=(4√3-9)/2
四边形CDEF面积=√3/4*2^2-(4√3-9)/2=(9-2√3)/2；
（2）解析：当α为多少度时?△AD A′为等腰三角形
以C为圆心,以AC为半径,画弧AE,此弧为A’点转动轨迹
当AD=AA’时,.△AD A′为等腰三角形
AA’=√(AC^2+A’C^2-2AC*A’C*cosα) =√(4+4-2*4*cosα)
AD=√(AC^2+DC^2-2AC*DC*cosα)
（3）解析：未转动时,P为AB与GF交点
AC=2,∠BAC=60°
∴AB=4,BC=2√3,BF=2(√3-1),PF=BF*tan30=2(√3-1)* √3/3=2(3-√3)/3
PB=4(3-√3)/3
∴AP=4-4(3-√3)/3=4√3/3
当α从0°至90°时,A’与F重合,P变为P‘
∴FP‘=AP
PP‘=√(PF^2+FP’^2-2PF*FP’*cos150°) =√(8(2-√3)/3+16/3+2(3-√3)/3*4√3/3*√3)
=√(8(2-√3)/3+16/3+8(3-√3)/3)
=√((32-8√3)/3+8(3-√3)/3)= √(8(7-2√3)/3)
∴在整个旋转过程中,点P移动的距离√(8(7-2√3)/3).

如图取坐标系，易知，⊿A′CF为正三角形，A′C方程：y＝√3x①

AB方程：x/2√3+y/2＝1②, A′B′方程：y＝-√3（x-2）③.

①②得D（√3/2,3/2）. ②③都E（3-√3,3-√3）.又A′（1,√3）

看右上小图：计算S⊿A′DE,从y＝3-√3与③，得H（2-√3/2,3-√3）

高（红线）＝2√3-3。底（蓝线）＝2-√3。

S⊿A′DE＝（2√3-3）（2-√3）/2＝（7√3-12）/2

S（AFED）＝S⊿A′CF-S⊿A′DE＝√3-（7√3-12）/2＝（12-5√3）/2≈1.67║

复杂

把正方形ACFG与Rt△ACB按如图(甲)所示重叠在一起,其中AC=2, ∠BAC=600,若把Rt△ACB绕直角顶点C按顺时针方向旋转,旋转角α，且0°≤α≤90°，旋转后的三角形为△A′B′C，A B分别与A′