作业帮一道高中数学竞赛题 关于概率的 急!一小时内回答出来20分阿阿阿一种密码锁的密码设置是在正边形的每个顶点处赋值0和1两个数中的一个,同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一,使得
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/09 20:54:34
一道高中数学竞赛题 关于概率的 急!一小时内回答出来20分阿阿阿一种密码锁的密码设置是在正边形的每个顶点处赋值0和1两个数中的一个,同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一,使得
一道高中数学竞赛题 关于概率的 急!一小时内回答出来20分阿阿阿
一种密码锁的密码设置是在正边形的每个顶点处赋值0和1两个数中的一个,同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一,使得任意相邻两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同.问:该种密码锁共有多少种不同的密码设置?
但是这里是n边形不是四边形阿…
一道高中数学竞赛题 关于概率的 急!一小时内回答出来20分阿阿阿一种密码锁的密码设置是在正边形的每个顶点处赋值0和1两个数中的一个,同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一,使得
即使是四边形,楼上的也不对.楼上只看到了“至少有一个相同”,却没有看到“任意相邻两个顶点”.题目要求随便拿两个相邻顶点出来,它们都满足这个条件：数字或者颜色中至少有一个相同.
这道题目需要分奇偶两种情况,用数学归纳法来做.
答案是：假设该正边形有n个边,当n为偶数时,有12*7^[(n-2)/2]种;当n为奇数时,有4*7^[(n-1)/2]种.
对偶数情况的证明：当n＝2时,第1个顶点有2*2＝4种情况,不论何种情况下,第2个顶点都有3种可能,因此共有4*3＝12种情况.
详细分析如下：
我们用a代表0和1中的任意1种,而b代表另外1种（你在做的时候可以用“非a”代替,可能会更清楚一些）,用x代表红、蓝中的任意1种,而y代表另外一种.如果一个顶点数字是a、颜色是x,我们用ax表示这个点的状态.
第1个顶点有4种情况就不分析了,很容易看出来.假如第1个顶点的状态是ax,则第2个顶点不可以是by,可以是ax、ay、bx中任意一种,也就是说,不管第1个顶点的状态是怎样的,第2个顶点都有3种情况,因此总共有4*3＝12种情况.
而12*7^[(n-2)/2]＝12*7^0＝12,因此n＝2时公式成立.
假设n＝2k（k为自然数）时公式成立,则当n＝2k+2时,我们可以想象一下,任意选取一个符合题目要求的2k边形的两个相邻顶点M和N,与一条新增线段PQ的两端相连,即新增2个顶点和2条边（本来是M、N相邻,新增两个顶点后变成MP相邻、PQ相邻、QN相邻）.
因为M和N至少有一个状态相同,我们先假定它们有且只有一个状态相同,并假定它们的状态分别是ax和ay,那么P的状态可以是ax、ay、bx中的任意一种,Q必须和P、N（ay）都有相同的状态.
P为ax时,结合N为ay,可以分析出,Q可以是ax、ay两种情况
P为ay时,Q可以是ay、ax、by三种情况；
P为bx时,Q可以是by、ax两种情况.
因此,当M、N有且仅有一个状态相同时,P和Q有7种情况（2+3+2）.
同理可以分析,当M、N的状态完全相同时（可以假定二者都是ax）,P、Q也有7种情况.
因此,当n＝2k+2时,共有12*7^[(2k-2)/2] *7＝12*7^[(2k+2-2)/2],可见当n＝2k+2时公式也成立.
根据数学归纳法,n为任意偶自然数时,公式均成立.
（注：题目中写的是正边形,因此n应该是不小于3的,因此严格来说上述分析是错的,不应该从2开始分析而应该从4开始分析,但是考虑到n＝4时稍微繁琐一些,因此才从n＝2开始分析,只要道理懂了,要从4开始分析也是很容易的.）
对奇数情况的证明：
n＝3时,设三个顶点分别是M、P、Q.假设M的状态是ax（共有2*2＝4种情况）,则P的状态可以是ax、ay、bx三种.下面分情况考虑Q的状态（Q必须与M、P各至少有一个状态相同）.
当P为ax时,Q可以是ax、ay、bx三种；
当P为ay时,Q可以是ax、ay两种；
当P为bx时,Q可以是ax、bx两种.
因此,在M状态已知的情况下,P、Q可以有7种情况.
因此,n＝3时共有4*7＝28种情况.公式成立.
下面继续用数学归纳法证明,若n＝2k+1时公式成立,则n＝2k+3时公式也成立,从而证明n为不小于3的奇数时,公式恒成立.具体过程就不写了,和偶数情况完全相同.