有关三角函数的题：已知(1-cosα)/(1-cosβ)=1/9,α+β=120°,求α=?β=?

有关三角函数的题：已知(1-cosα)/(1-cosβ)=1/9,α+β=120°,求α=?β=?
有关三角函数的题：已知(1-cosα)/(1-cosβ)=1/9,α+β=120°,求α=?β=?

有关三角函数的题：已知(1-cosα)/(1-cosβ)=1/9,α+β=120°,求α=?β=?
我本来怀疑有没有算错,不过验算了N遍,应该是对的.
1-cosα = 2(sin(α/2))^2
1-cosβ = 2(sin(β/2))^2
所以 sin(α/2)/sin(β/2) = 1/3 (因为α/2,β/2都小于60度,所以正弦值都大于0)
α/2 = 60度-β/2
代入sin(α/2)/sin(β/2) = 1/3,用公式sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA 展开 sin(60度-β/2)
解得tan(β/2) = 3根号3/5
用万能公式算出tanβ = -15根号3
所以β = arctan (-15根号3 ) ,α = 120度-arctan (-15根号3 )

1-(cosα+cosβ)+cosαcosβ=1/9
cosα+cosβ=2cos(α+β)/2cos(α-β)/2
cosαcosβ=[cos(α-β)+cos(α+β)]/2
于是：1-cos(α-β)/2+[cos(α-β)]/2-1/4=1/9
而cos2x=2cos²x-1
所以有：cos²[(α-β)/2]-cos[(α-β)...

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1-(cosα+cosβ)+cosαcosβ=1/9
cosα+cosβ=2cos(α+β)/2cos(α-β)/2
cosαcosβ=[cos(α-β)+cos(α+β)]/2
于是：1-cos(α-β)/2+[cos(α-β)]/2-1/4=1/9
而cos2x=2cos²x-1
所以有：cos²[(α-β)/2]-cos[(α-β)/2]+5/9=0
解得：cos[(α-β)/2]=1/6或者5/6
这个不是特殊数值（比如1/2,根号2/2,根号3/2,1等）
故只能用反三角函数表示，剩下的工作你自己做吧，再有问题问我。

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此题比较复杂，下面是解题过程，仅供参考：
去分母，得9-9cosa=1-cosb,-->>9cosa-cosb=8.
因为a+b=2pi/3,(下面以&表示pi)带入，9cosa-cos(2&/3-a)=8 -->> 展开有 9cosa+0.5cosa- 根3/2sina=8 -->> 【根（19平方+3）】（19/【】cosa-（根3）/【】sina）=16/【】<...

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此题比较复杂，下面是解题过程，仅供参考：
去分母，得9-9cosa=1-cosb,-->>9cosa-cosb=8.
因为a+b=2pi/3,(下面以&表示pi)带入，9cosa-cos(2&/3-a)=8 -->> 展开有 9cosa+0.5cosa- 根3/2sina=8 -->> 【根（19平方+3）】（19/【】cosa-（根3）/【】sina）=16/【】
-->> cos(a+m)=16/【】,-->>a+m=arccos(16/【】) -->>a=arccos(16/【】)-m,其中m=arcsin(19/【】）
注意：【】指的是第一次出现的那个，因为太麻烦，下面都省略了里面的内容

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这个值是确定的吗，还是用表达式表达的

1-cosα = 2(sin(α/2))^2
1-cosβ = 2(sin(β/2))^2
所以 sin(α/2)/sin(β/2) = 1/3 (因为α/2,β/2都小于60度，所以正弦值都大于0)
α/2 = 60度-β/2
代入sin(α/2)/sin(β/2) = 1/3，用公式sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA 展开 sin(60度-β...

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1-cosα = 2(sin(α/2))^2
1-cosβ = 2(sin(β/2))^2
所以 sin(α/2)/sin(β/2) = 1/3 (因为α/2,β/2都小于60度，所以正弦值都大于0)
α/2 = 60度-β/2
代入sin(α/2)/sin(β/2) = 1/3，用公式sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA 展开 sin(60度-β/2)
解得tan(β/2) = 3倍的根号3/5
用万能公式算出tanβ = -15倍的根号3
所以β = arctan (-15倍的根号3 ) ,α = 120度-arctan (-15倍的根号3 )

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