作业帮一道数学证明题,（图自己画下,3Q!）在△ABC中,AB=AC,BD是AC边上的高,点E是BC上任意一点,EF⊥AB于点F,EG⊥AC于点G,求证:BD=EF+EG!
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 04:45:22
一道数学证明题,（图自己画下,3Q!）在△ABC中,AB=AC,BD是AC边上的高,点E是BC上任意一点,EF⊥AB于点F,EG⊥AC于点G,求证:BD=EF+EG!
一道数学证明题,（图自己画下,3Q!）
在△ABC中,AB=AC,BD是AC边上的高,点E是BC上任意一点,EF⊥AB于点F,EG⊥AC于点G,求证:BD=EF+EG!
一道数学证明题,（图自己画下,3Q!）在△ABC中,AB=AC,BD是AC边上的高,点E是BC上任意一点,EF⊥AB于点F,EG⊥AC于点G,求证:BD=EF+EG!
中学教材全解上面有的
（简单点,把△ABC的面积写成ABC）
连接AE,则
ABC
=1/2· AC· BD ①
ABC
=ABE+ACE
=1/2· AB· EF+1/2· AC· EG
=1/2· AC· EF+1/2· AC· EG
=1/2· AC· (EF+EG) ②
由①②,得BD=EF+EG
证明：连接AE
∵BD⊥AC
∴S△ABC＝AC×BD/2
∵EF⊥AB
∴S△ABE＝AB×EF/2
∵EG⊥AC
∴S△ACE＝AC×EG/2
∵S△ABC＝S△ABE+ S△ACE
∴AC×BD/2＝AB×EF/2+ AC×EG/2
∵AB＝AC
∴BD=EF+EG
过E点做一条AC的平行线交BD于M，交AB于N，先证明BEN是等腰三角形。
EMDG是矩形（对边互相平行，且有一角是直角）
所以，EG=MD
再证BEF和BEM全等，（直角三角形斜边相等，且一个锐角相等）
所以，EF=BM
所以EF+EG=BM+MB=BD
连接AE
由题意可知：
S△ABC=S△ACE+S△ABE
AC▪BD▪1/2=AC▪GE▪1/2+AB▪EF▪1/2
∵AC=AB
∴AC▪BD▪1/2=AC▪GE▪1/2+AC▪EF▪1/2
AC▪BD▪1/2=1/2▪AC(GE+EF)
∴BD=GE+EF
（用的是等面积法）