数列{an}中,Sn-2an=2n,(1)求证{an-2}是等比数列(2)若an=bn+1-bn,b1=3,求数列{bn}的通项公式(3)若cn=nbn-2n^2,求数列{cn}的前n项和Tn

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/05 10:00:56

数列{an}中,Sn-2an=2n,(1)求证{an-2}是等比数列(2)若an=bn+1-bn,b1=3,求数列{bn}的通项公式(3)若cn=nbn-2n^2,求数列{cn}的前n项和Tn
数列{an}中,Sn-2an=2n
,(1)求证{an-2}是等比数列(2)若an=bn+1-bn,b1=3,求数列{bn}的通项公式(3)若cn=nbn-2n^2,求数列{cn}的前n项和Tn

数列{an}中,Sn-2an=2n,(1)求证{an-2}是等比数列(2)若an=bn+1-bn,b1=3,求数列{bn}的通项公式(3)若cn=nbn-2n^2,求数列{cn}的前n项和Tn
(1)数列{an}中,Sn-2an=2n,①
n=1时a1-2a1=2,a1=-2.
n>1时S-2a=2(n-1),②
①-②,an-2an+2a=2,
∴an-2=2(a-2),a1-2=-4,
∴{an-2}是等比数列.
(2)an-2=-4*2^(n-1)=-2^(n+1),
an=b-bn,
∴bn-b=a=-2^n,
b-b=-2^(n-1),
……
b2-b1=-2^2,
b1=3,
累加得bn=3-(2^2+2^3+……+2^n)
=3-[2^(n+1)-4]
=7-2^(n+1).
(3)cn=nbn-2n^2=7n-2n^2-n*2^(n+1),
1^2+2^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6,
w=2^2+2*2^3+……+n*2^(n+1),
2w= 2^3+……+(n-1)*2^(n+1)+n*2^(n+2),
相减得w=n*2^(n+2)-[2^2+2^3+……+2^(n+1)]
=n*2^(n+2)-[2^(n+2)-4]
=(n-1)*2^(n+2)+4,
∴Tn=7n(n+1)/2-n(n+1)(2n+1)/3-[(n-1)*2^(n+2)+4].