作业帮求函数值域f(x)=1/(1 - e^-x)- 1/x (x>0)无限逼近的函数该如何求最值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/11 13:50:54
求函数值域f(x)=1/(1 - e^-x)- 1/x (x>0)无限逼近的函数该如何求最值
求函数值域
f(x)=1/(1 - e^-x)- 1/x (x>0)
无限逼近的函数该如何求最值
求函数值域f(x)=1/(1 - e^-x)- 1/x (x>0)无限逼近的函数该如何求最值
x 趋向正无穷大时,
limf(x)=1
x趋向0时
limf(x)=0.5
故 0.5
f(x)=1/(1 - e^-x)- 1/x
=e^x/(e^x - 1)- 1/x
=(e^x-1+1)/(e^x - 1)- 1/x
=1+1/(e^x - 1)- 1/x
当x趋于无穷大时，1/(e^x - 1)和1/x两个式子都为零了，所以f(x)的最大值为1.
当x趋近于0时，f(x)为负无穷大，所以f(x)的值域为（－∞，1）.
搞错了，应该是（0.5,1） ；用罗比达法则
做一下换元，令e^x-1=t,即x=ln(1+t),那么1/(1 - e^-x)- 1/x =1+1/t-1/ln(1+t),(t>0).
1.利用洛必达法则（或泰勒公式）可求得f（x）趋向0的极限值为1/2.
2.根据0
3.由ln(t+1)>(2*t)/(t+2)(t>0时)，（这步用导数验证）得1+1/t-1/ln(...
全部展开
做一下换元，令e^x-1=t,即x=ln(1+t),那么1/(1 - e^-x)- 1/x =1+1/t-1/ln(1+t),(t>0).
1.利用洛必达法则（或泰勒公式）可求得f（x）趋向0的极限值为1/2.
2.根据0
3.由ln(t+1)>(2*t)/(t+2)(t>0时)，（这步用导数验证）得1+1/t-1/ln(1+t)>1/2(t>0时)
所以f(x)有上确界1和下确界1/2,但无最大值和最小值。
收起