作业帮从1开始的n个连续的自然数,如果去掉其中的一个数后其余数的平均值为152/7 ,问去掉的数是几?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 10:10:24
从1开始的n个连续的自然数,如果去掉其中的一个数后其余数的平均值为152/7 ,问去掉的数是几?
从1开始的n个连续的自然数,如果去掉其中的一个数后其余数的平均值为152/7 ,问去掉的数是几?
从1开始的n个连续的自然数,如果去掉其中的一个数后其余数的平均值为152/7 ,问去掉的数是几?
1+2+…+n=n(n+1)/2是这n个连续自然数的和,
去掉其中一个数后,有n-1个数,则152/7*(n-1)是去掉其中一个数后的和,
因而这个数为n(n+1)/2-152/7*(n-1)=n²/2+n/2-152n/7+152/7=n²/2-297n/14+152/7
=(7n²-297n+304)/14,为整数,
因为304≡10(mod14),所以7n²-297n≡4(mod14),
若n为奇数,7n²≡7(mod14),故297n≡3(mod14),而297≡3(mod14),
所以n≡1(mod14),即n=14k+1,k∈N,代入(7n²-297n+304)/14得：
[7*(14k+1)²-297(14k+1)+304]/14=[1372k²+196k+7-4158k-297+304]/14=98k²-283k+1≥1,
由1≤98k²-283k+1≤14k+1,解得：k=0或283/98≤k≤297/98,
又k∈N,所以k=0或3,而显然k=0时,n=1,是不成立的,因而k=3,n=43,98k²-283k+1=34.
若n为偶数,7n²≡0(mod14),故297n≡10(mod14),而297≡3(mod14),
所以n≡8(mod14),即n=14k+8,k∈N,代入(7n²-297n+304)/14得：
[7*(14k+8)²-297(14k+8)+304]/14=[1372k²+1568k+448-4158k-2376+304]/14=98k²-185k-116
由1≤98k²-185k-116≤14k+8,解得：k=-1/2或117/49≤k≤124/49,
又k∈N,所以k无解.
所以,从1开始到43的43个连续自然数,去掉其中的34这个数后其余数的平均值为152/7.
1+2+3+…+43=43*(43+1)/2=946,946-34=912,912/(43-1)=152/7.