{an}中,构造新数列a1,a2－a1,a3－a2,...an－an-1,..,此数列首项为1公比为1/3的等比数列,求数列an的通项公及前n项的和

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/15 11:32:49

{an}中,构造新数列a1,a2－a1,a3－a2,...an－an-1,..,此数列首项为1公比为1/3的等比数列,求数列an的通项公及前n项的和
{an}中,构造新数列a1,a2－a1,a3－a2,...an－an-1,..,此数列首项为1公比为1/3的等比数列,
求数列an的通项公及前n项的和

{an}中,构造新数列a1,a2－a1,a3－a2,...an－an-1,..,此数列首项为1公比为1/3的等比数列,求数列an的通项公及前n项的和
A1=1
A2-A1=A1*1/3=1/3
..
An-A(n-1)=A1*(1/3)^(n-1)=1/3^(n-1)
左右两边分别相加：
左边=A1+A2-A1+..+An-A(n-1)=An
=1+1/3+..+1/3^(n-1)
=1*(1-1/3^n)/(1-1/3)
An=(3/2)*(1-1/3^n)=3/2-3/(2*3^n)
前n项和=An=3/2-3/(2*3^n)

an-a(n-1)=(1/3)^(n-1)
a(n-1)- a(n-2)= (1/3)^(n-2)
……..
a2-a1=1/3
a1=1
累加得
an=-(3/2)^(1-n)+3/2 (n∈N+)
分组求和
sn=3/4(1/3)^n+3n/2-3/4
(n∈N+)

新数列为{bn}
则前n项和为Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=1*(1-(1/3)^n)/(2/3)
Sn=a1+a2-a1+a3-a2+...+an-an-1=an
所以an=1*(1-(1/3)^n)/(2/3)
=3/2-3/(2*3^n)

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{an}中,构造新数列a1,a2－a1,a3－a2,...an－an-1,..,此数列首项为1公比为1/3的等比数列
因为首项为1，等比为1/3
所以可以得出 a1 = 1， a2 = 4/3， a3 = 13/9， a4 = 40/27 。。。
可以看的出他的规律是 an = a（n-1） + 1/3^（n-1 ）
a（n-1） = a（n-2） + 1/3^（n-2）带入上面式
得出 an = a（n-2） + 1/3^(n-1) + 1/3^(n-2)
以此类推得出 an = a1 + 1/3^(n-1) + 1/3^(n-2) + 。。。 + 1/3
an = 1 + 1/3^(n-1) + 1/3^(n-2) + 。。。 + 1/3
后面的是首项为1/3，等比为1/3的等比数列。求和公式应该知道吧。
和为：1/2 - 1/[2×3^(n-1)]
于是 an = 3/2 - 1/[2×3^(n-1)]
但是前n项的和我就不会了。
前n项之和为：

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a1=1
a2-a1=1/3
.....
an-a(n-1)=1*(1/3)^(n-1)
相加得：
an=1+1/3+....1*(1/3)^(n-1)
=[1-(1/3)^n]/(1-1/3)
=3/2-(3/2)*(1/3)^n
Sn=a1+a2+.......+an
=[3/2-(3/2)*(1/3)]+[3...

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a1=1
a2-a1=1/3
.....
an-a(n-1)=1*(1/3)^(n-1)
相加得：
an=1+1/3+....1*(1/3)^(n-1)
=[1-(1/3)^n]/(1-1/3)
=3/2-(3/2)*(1/3)^n
Sn=a1+a2+.......+an
=[3/2-(3/2)*(1/3)]+[3/2-(3/2)*(1/3)^2]+.....+[3/2-(3/2)*(1/3)^n]
=(3/2)*n-(3/2)*[1/3+(1/3)^2+.....+(1/3)^n]
=(3/2)*n-(3/4)*[1-(1/3)^n]
我打那么多括号只是为了你看的明白些

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