作业帮已知无穷等比数列｛an｝首项为1,公比为q,前n项和为Sn,求lim（Sn/Sn+1）
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/11 16:20:10
已知无穷等比数列｛an｝首项为1,公比为q,前n项和为Sn,求lim（Sn/Sn+1）
已知无穷等比数列｛an｝首项为1,公比为q,前n项和为Sn,求lim（Sn/Sn+1）
已知无穷等比数列｛an｝首项为1,公比为q,前n项和为Sn,求lim（Sn/Sn+1）
（1）当q＝1时,Sn＝n;S(n+1)＝(n+1)
lim（Sn/Sn+1）＝n/(n+1)＝1
（2）当q＝-1时,n为偶数Sn＝0;S(n+1)=1,极限＝0
n为奇数,Sn＝1;S(n+1)=0,极限不存在；
（3）当q≠±1时：
Sn=a1·(1-q^n)/(1-q)
S(n+1)＝a1·[1-q^(n+1)]/(1-q)
Sn/S(n+1)＝(1-q^n)/[1-q^(n+1)]
∴lim（Sn/Sn+1）＝(1-q^n)/[1-q^(n+1)]
若|q|>1：
lim（Sn/Sn+1）＝lim(1/q^n -1)/[1/q^n-q]＝(-1)/(-q)＝1/q
若|q|
当q=1时Sn=n,即Sn/Sn+1=n/n+1, lim(Sn/Sn+1)=1;
当q≠1时，Sn=1*(1-q^n)/(1-q)=(1-q^n)/(1-q)；
即Sn/Sn+1=(1-q^n+1)/(1-q^n)；
此时分两种情况讨论：
① 0
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当q=1时Sn=n,即Sn/Sn+1=n/n+1, lim(Sn/Sn+1)=1;
当q≠1时，Sn=1*(1-q^n)/(1-q)=(1-q^n)/(1-q)；
即Sn/Sn+1=(1-q^n+1)/(1-q^n)；
此时分两种情况讨论：
① 0
② q>1时，lim(q^n)趋向于无穷大，
Sn/Sn+1=(1-q^n+1)/(1-q^n)=(q^n+1 - 1)/(q^n-1);
相对于q^n,1可以忽略不计，
即limSn/Sn+1=lim「(q^n+1 - 1)/(q^n-1)」=(q^n+1)/q^n=q;
综上所述：当0〈 q ≤1时，lim(Sn/Sn+1)=1；
当q 〉1时，limSn/Sn+1=q 。
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