设点p(x,y)在圆x^2+(y-1)^2=1上.y+2/x+1的最小值

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 11:24:05

设点p(x,y)在圆x^2+(y-1)^2=1上.y+2/x+1的最小值
设点p(x,y)在圆x^2+(y-1)^2=1上.y+2/x+1的最小值

设点p(x,y)在圆x^2+(y-1)^2=1上.y+2/x+1的最小值
问题实际是一个求最小斜率的问题,由数型结合可以看到,最小值就是过点（-2,-1）切圆的一条切线的斜率,

设(y+2)/(x+1)=k,就是求圆上一点到点(-1,-2)连线的斜率.当连线与圆相切时有最小值.
即有y=k(x+1)-2与圆相切.
那么圆心到直线的距离d=|-1+k-2|/根号(1+K^2)=1
|K-3|^2=1+K^2
K^2-6K+9=1+K^2
K=4/3
即最小值是:4/3.

令 m=(y+2)/(x+1)，y=m(x+1)-2，代入圆方程：
x²+(m(x+1)-2-1)²=1
x²+(mx+m-3)²=1
x²+m²x²+2m(m-3)x+(m-3)²=1
(1+m²)x²+2m(m-3)x+(m-3)²-1=0
x ...

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令 m=(y+2)/(x+1)，y=m(x+1)-2，代入圆方程：
x²+(m(x+1)-2-1)²=1
x²+(mx+m-3)²=1
x²+m²x²+2m(m-3)x+(m-3)²=1
(1+m²)x²+2m(m-3)x+(m-3)²-1=0
x 要有解，(2m(m-3))²-4(1+m²)[(m-3)²-1]>=0
m²(m-3)²-(m²+1)[(m-3)²-1]>=0
m²(m-3)²-m²(m-3)²+m²-(m-3)²+1>=0
(m-3)²-m²-1<=0
m²-6m+9-m²-1<=0
6m>=8
m>=4/3
所以 最小值为 4/3

收起

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