函数F(X)与数列结合的题目求解已知f(x)在（-1,1）上有定义,f(1/2)=-1,且满足x,y属于（-1,1）有f(x)+f(y)=f((x+y)/(1+xy))(1)证明f(x)在（-1,1）上为奇函数(2)对数列x1=1/2,x（n+1）=2x(n)/(1+x(n)^2),求f(xn)(3)求证1/f

函数F(X)与数列结合的题目求解已知f(x)在（-1,1）上有定义,f(1/2)=-1,且满足x,y属于（-1,1）有f(x)+f(y)=f((x+y)/(1+xy))(1)证明f(x)在（-1,1）上为奇函数(2)对数列x1=1/2,x（n+1）=2x(n)/(1+x(n)^2),求f(xn)(3)求证1/f
函数F(X)与数列结合的题目求解
已知f(x)在（-1,1）上有定义,f(1/2)=-1,且满足x,y属于（-1,1）有f(x)+f(y)=f((x+y)/(1+xy))
(1)证明f(x)在（-1,1）上为奇函数
(2)对数列x1=1/2,x（n+1）=2x(n)/(1+x(n)^2),求f(xn)
(3)求证1/f(x1)+1/f(x2)+……+1/f(xn)大于-（2n+5）/(n+2)

函数F(X)与数列结合的题目求解已知f(x)在（-1,1）上有定义,f(1/2)=-1,且满足x,y属于（-1,1）有f(x)+f(y)=f((x+y)/(1+xy))(1)证明f(x)在（-1,1）上为奇函数(2)对数列x1=1/2,x（n+1）=2x(n)/(1+x(n)^2),求f(xn)(3)求证1/f
已知f(x)在（-1,1）上有定义,f(1/2)=-1,且满足x,y属于（-1,1）有f(x)+f(y)=f((x+y)/(1+xy))
(1)证明f(x)在（-1,1）上为奇函数
证明：令y=-x,得f（x）+f（-x）=f（0）
令x=1/2,y=0,得f（1/2）+f（0）=f（1/2）,得f（0）=0
所以f（x）+f（-x）=f（0）=0,即f（x）=-f（-x）
所以,f（x)在（-1,1）上为奇函数.
(2)对数列x1=1/2,x（n+1）=2x(n)/(1+x(n)^2),求f(xn)
∵ f(x)+f(y)=f((x+y)/(1+xy))
令y=x,则f（x）+f（x）=f（2x/（1+x^2))=2f（x）
∵ x（n+1）=2x(n)/(1+x(n)^2)
则f（x（n+1））=f（2x(n)/(1+x(n)^2))
而f（2x(n)/(1+x(n)^2))=2f（xn）
∴ f（x（n+1））=2f（xn）
∴ f（x（n+1））/f（xn）=2
又f（x1）=f（1/2）=-1,
所以f（xn）=-2^(n-1)(即首项为-1,公比为2的等比数列）
(3)求证1/f(x1)+1/f(x2)+……+1/f(xn)>-（2n+5）/(n+2)
证：
S=1/f(x1)+1/f(x2)+……+1/f(xn)
=-[1+1/2+1/4+1/8+...+1/2^(n-1)].1
令S1=1+1/2+1/4+1/8+...+1/2^(n-1).2
则1/2S1=1/2+1/4+1/8+...+1/2^n.3
2式-3式,得1/2S1=1-1/2^n
所以S1=2-2/2^n
所以S=-2+2/2^n
而S2=-（2n+5）/(n+2) =-2-1/（n+2）
对于n属于自然数来说2/2^n>0>-1/(n+2)
所以S>S2
即1/f(x1)+1/f(x2)+……+1/f(xn)>-（2n+5）/(n+2)

(1)令x=y=0得 2f（0）=f（0） f（0）=0
令y=-x得 f（x）+f（-x）=f（0）=0
故f（-x）=-f（x）
所以f（x）是奇函数
（2）令x=y=xn ∴2f（xn）=f（2xn/1+xn²）=f（xn+1）
∴f（xn+1）/f（xn）=2 又因为f（x1）=f（1/2）=-1
∴数列{f（xn）}是以-1为首项...

全部展开

(1)令x=y=0得 2f（0）=f（0） f（0）=0
令y=-x得 f（x）+f（-x）=f（0）=0
故f（-x）=-f（x）
所以f（x）是奇函数
（2）令x=y=xn ∴2f（xn）=f（2xn/1+xn²）=f（xn+1）
∴f（xn+1）/f（xn）=2 又因为f（x1）=f（1/2）=-1
∴数列{f（xn）}是以-1为首项，2为公比的等比数列
∴f(xn)=-2^n-1
(3)因为数列{1/f（xn）}是等比数列，不难求得1/f(x1)+1/f(x2)+……+1/f(xn)=-2+2^1-n
不等式-2+2^1-n＞-（2n+5）/(n+2)
这等价于2-2^1-n＜（2n+5）/(n+2)①
欲证①，只需证明2^1-n（n+2）＞-1
因为n∈N+ 故此为显然，即①成立
故原不等式成立

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