把rt三角形ABC和rt三角形DEF按如图1摆放(点C与点E重合)点B,C,F

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/01 06:56:52

把rt三角形ABC和rt三角形DEF按如图1摆放(点C与点E重合)点B,C,F
把rt三角形ABC和rt三角形DEF按如图1摆放(点C与点E重合)点B,C,F

把rt三角形ABC和rt三角形DEF按如图1摆放(点C与点E重合)点B,C,F
(1)∵点A在线段PQ的垂直平分线上,
∴AP=AQ;
∵∠DEF=45°,∠ACB=90°,∠DEF+∠ACB+∠EQC=180°,
∴∠EQC=45°;
∴∠DEF=∠EQC;
∴CE=CQ;
由题意知:CE=t,BP=2t,
∴CQ=t;
∴AQ=8-t;
在Rt△ABC中,由勾股定理得:AB=10cm;
则AP=10-2t;
∴10-2t=8-t;
解得:t=2;
答:当t=2s时,点A在线段PQ的垂直平分线上;
(2)过P作PM⊥BE,交BE于M
∴∠BMP=90°;
在Rt△ABC和Rt△BPM中,sinB=
AC
AB
=
PM
BP
,

PM
2t
=
8
10

∴PM=
8
5
t;
∵BC=6cm,CE=t,∴BE=6-t;
∴y=S△ABC-S△BPE=
1
2
BC•AC-
1
2
BE•PM=
1
2
×6×8-
1
2
×(6-t)×
8
5
t
=
4
5
t2-
24
5
t+24=
4
5
(t-3)2+
84
5

∵a=
4
5
>0,
∴抛物线开口向上;
∴当t=3时,y最小=
84
5

答:当t=3s时,四边形APEC的面积最小,最小面积为
84
5
cm2.
(3)假设存在某一时刻t,使点P、Q、F三点在同一条直线上;
过P作PN⊥AC,交AC于N
∴∠ANP=∠ACB=∠PNQ=90°;
∵∠PAN=∠BAC,
∴△PAN∽△BAC;

PN
BC
=
AP
AB
=
AN
AC


PN
6
=
10-2t
10
=
AN
8

∴PN=6-
6
5
t,AN=8-
8
5
t;
∵NQ=AQ-AN,
∴NQ=8-t-(8-
8
5
t)=
3
5
t
∵∠ACB=90°,B、C、E、F在同一条直线上,
∴∠QCF=90°,∠QCF=∠PNQ;
∵∠FQC=∠PQN,
∴△QCF∽△QNP;

PN
FC
=
NQ
CQ
,∴
6-65t
9-t
=
35t
t

∵0<t<4.5,∴
6-65t
9-t
=
35;
解得:t=1;
答:当t=1s,点P、Q、F三点在同一条直线上.