作业帮证明根3是无理数?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/09 12:44:41
证明根3是无理数?
证明根3是无理数?
证明根3是无理数?
反证法：假设√3是有理数.
1^2< (√3)^2
方法一：假设根号3=p/q(p、q为互质整数），则p^2=3q^2 所以3整除p^2,因3是质数，所以3整除p,可设p=3t,则q^2=3t^2,所以3整除q 因此p和q有公约数3,与p和q互质矛盾，所以根号3是无理数 方法二：设x=根号3，则有方程x^2=3 假设x^2=3有有理数解x=p/q(p、q为互质整数），根据牛顿有理根定理p整除3，q整除1,所以p=1或3,q=1，从而x=1或3，显然...
全部展开
方法一：假设根号3=p/q(p、q为互质整数），则p^2=3q^2 所以3整除p^2,因3是质数，所以3整除p,可设p=3t,则q^2=3t^2,所以3整除q 因此p和q有公约数3,与p和q互质矛盾，所以根号3是无理数 方法二：设x=根号3，则有方程x^2=3 假设x^2=3有有理数解x=p/q(p、q为互质整数），根据牛顿有理根定理p整除3，q整除1,所以p=1或3,q=1，从而x=1或3，显然x=1或3不是方程x^2=3的根，矛盾。 方法三：设x=根号3=p/q,(p,q)=1,所以存在整数s,t使ps+qt=1 根号3=根号3*1=根号3(ps+qt)=(√3p)s+(√3q)t=3qs+pt为整数，矛盾
收起