作业帮数学立体几何证明已知平面α交β=AB,PQ⊥平面α于点Q,PO⊥平面β于点O,OR⊥平面α于点R,求证QR⊥AB,原题没给图,可以不用图的
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/26 12:17:30
数学立体几何证明已知平面α交β=AB,PQ⊥平面α于点Q,PO⊥平面β于点O,OR⊥平面α于点R,求证QR⊥AB,原题没给图,可以不用图的
数学立体几何证明
已知平面α交β=AB,PQ⊥平面α于点Q,PO⊥平面β于点O,OR⊥平面α于点R,求证QR⊥AB,原题没给图,可以不用图的
数学立体几何证明已知平面α交β=AB,PQ⊥平面α于点Q,PO⊥平面β于点O,OR⊥平面α于点R,求证QR⊥AB,原题没给图,可以不用图的
因为：α交β=AB
所以：AB属于平面α ,也属于平面β
因为：PQ⊥平面α PO⊥平面β
所以：PQ⊥AB PO⊥AB
又因为：PQ和 PO在同一平面内
所以：AB⊥平面OPQ,
又因为：OR⊥平面α PQ⊥平面α
所以：OR平行于PQ且在同一平面内（属于平面OPQ）
所以：QR也是平面OPQ内的直线
所以：QR⊥AB
由PQ⊥平面α，OR⊥平面α，得PQ∥OR，所以PQRO是平面图形。
又易知PQ⊥AB ，OR⊥AB，所以 AB⊥平面PQRO，从而AB⊥QR
证明：
∵α交β=AB
∴AB∈α，AB∈β
∵PQ⊥平面α于点Q，AB∈α
∴PQ⊥AB
同理：PO⊥AB
∵PQ∩PO＝P
∴AB⊥面OPQ
又∵QR∈面OPQ
∴QR⊥AB
证明：因为 平面α交β=AB,PQ⊥平面α于点Q
所以 AB⊥PQ
又 PO⊥平面β于点O
所以 AB⊥PO
因为 PO与PQ 相交与P点
所以 AB⊥平面POQ
因为 OR⊥平面α于点R
所以 PQ平行...
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证明：因为 平面α交β=AB,PQ⊥平面α于点Q
所以 AB⊥PQ
又 PO⊥平面β于点O
所以 AB⊥PO
因为 PO与PQ 相交与P点
所以 AB⊥平面POQ
因为 OR⊥平面α于点R
所以 PQ平行OR
所以 PORQ共面
所以AB⊥平面PORQ
所以 AB⊥QR
收起
PQ垂直于AB，PO垂直于AB。平面OPQ垂直于α和β。则OR在OPQ平面内，而AB垂直于OPQ，所以QR垂直于AB