一道有点难的函数题已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=2^x,若不等式af(x)+g(x)≥0对x在﹙0,1]上恒成立,求实数a的取值范围.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/01 07:32:21
一道有点难的函数题已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=2^x,若不等式af(x)+g(x)≥0对x在﹙0,1]上恒成立,求实数a的取值范围.
一道有点难的函数题
已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=2^x,若不等式af(x)+g(x)≥0对x在﹙0,1]上恒成立,求实数a的取值范围.
一道有点难的函数题已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=2^x,若不等式af(x)+g(x)≥0对x在﹙0,1]上恒成立,求实数a的取值范围.
f(x)+g(x)=2^x.(1)
f(-x)+g(-x)=2^(-x)
-f(x)+g(x)=2^(-x).(2)
(1)(2):得到
2f(x)=2^x-2^(-x)
2g(x)=2^x+2^(-x)
af(x)+g(x)≥0
a[2^x-2^(-x)]+2^x+2^(-x)>=0
(a+1)2^x+(1-a)/2^x>=0.(3),x∈(0,1],2^x∈(1,2],(3)×2^x
(a+1)[2^x]^2+(1-a)>=0,令t=2^x∈(1,2],
f(t)=(a+1)t^2+(1-a)>=0,对于t∈(1,2],恒成立
(1)如果:a=-1,f(t)=2>0,满足题意
(2)如果:a>-1,则函数f(t)开口向上,f(t)>f(1)=a+1+1-a=2>0满足题意
(3)如果:a=f(2)=4(a+1)+(1-a)>=0,a>=-5/3
综上所述:a>=-5/3
f(x)+g(x)=2^x,f(x)和g(x)的定义域都为R,所以f(-x)+g(-x)=2^(-x),又f(x)和g(x)分别是奇函数和偶函数,故有-f(x)+g(x)=2^(-x),从而有f(x)=2^(x-1)-2^(-x-1),g(x)=2^(x-1)+2^(-x-1)。
af(x)+g(x)=(a+1)*2^(x-1)+(1-a)*2^(-x-1)≥0 <=> (a+1)*2^(...
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f(x)+g(x)=2^x,f(x)和g(x)的定义域都为R,所以f(-x)+g(-x)=2^(-x),又f(x)和g(x)分别是奇函数和偶函数,故有-f(x)+g(x)=2^(-x),从而有f(x)=2^(x-1)-2^(-x-1),g(x)=2^(x-1)+2^(-x-1)。
af(x)+g(x)=(a+1)*2^(x-1)+(1-a)*2^(-x-1)≥0 <=> (a+1)*2^(x-1)≥(a-1)*2^(-x-1) <=> (a+1)*4^x≥a-1,若a+1≥0,即a≥-1,则(a+1)*4^x>a+1>a-1,其中x在(0,1]上,上述不等式成立。
若a+1<0,即a<-1,则(a-1)/(a+1)≥4^x,由于x在(0,1]上,所以4^x≥4,因而根据题意必须有
(a-1)/(a+1)≥4 => -1>a≥-5/3
综上,实数a的取值范围是[-5/3,∞)。
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