用二项式定理证明（n+1）的n次方-1能被n的平方整除

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/02 12:47:55

用二项式定理证明（n+1）的n次方-1能被n的平方整除
用二项式定理证明（n+1）的n次方-1能被n的平方整除

用二项式定理证明（n+1）的n次方-1能被n的平方整除
用二项式定理展开得,(n+1)^n - 1 = n^n * 1 + C(n-1,n) * n^(n-1) + C(n-2,n) * n^(n-2) + .+ C(2,n) * n^2 + c(1,n) * n + 1 - 1
注意到从n^n * 1到C(2,n)*n^2都可以被n^2整除,同时c(1,n) * n = n * n = n^2也能被n^2整除
所以(n+1)^n -1能被n的平方整除

证明:用二项式定理展开有：
（n+1）的n次方-1=(1+n²+....n^n)-1=n²+....n^n=n²(1+....n^n-2)
所以n+1）的n次方-1能被n的平方整除。

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