作业帮有这样一道数学题（英语的）帮忙帮忙.我都晕了.Let "n" be the largest integer for which 14n has exactly 100 digits.Counting from right to left,what is the 68th digit of "n" A) 1 B) 2 C) 3 D）5 E）8
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/01 12:52:12
有这样一道数学题（英语的）帮忙帮忙.我都晕了.Let "n" be the largest integer for which 14n has exactly 100 digits.Counting from right to left,what is the 68th digit of "n" A) 1 B) 2 C) 3 D）5 E）8
有这样一道数学题（英语的）帮忙帮忙.我都晕了.
Let "n" be the largest integer for which 14n has exactly 100 digits.Counting from right to left,what is the 68th digit of "n"
A) 1 B) 2 C) 3 D）5 E）8
有这样一道数学题（英语的）帮忙帮忙.我都晕了.Let "n" be the largest integer for which 14n has exactly 100 digits.Counting from right to left,what is the 68th digit of "n" A) 1 B) 2 C) 3 D）5 E）8
题意为：设n为满足“14n刚好是100位数”的最大整数.求n从右向左数第68个数是几.
注意到14n必是能被14整除的最大的100位数,而10 ≡ 3(mod 7),10^2 ≡ 2(mod 7),10^10 ≡ 2^5 ≡ 4(mod 7),
10^20 ≡ 2(mod 7),10^100 ≡ 2^5 ≡ 4(mod 7).
所以 7 | (10^100 - 4),而10^100 - 4又恰好为偶数,故14n = 10^100 - 4.
故 7n = 5 × 10^99 - 2.
欲求n从右往左数第68个数,即是要求n / 10^67 的个位数.
n / 10^67 = (5/7) × 10^32 - 2/(7 × 10^67).
注意到 5/7 = 0.714285714285···,循环长度为6,循环节为714285.
而32 ≡ 2(mod 6),故(5/7) × 10^32的个位数为1,即循环节714285的第二个数.
又2/(7 × 10^67) < 0.1
故n / 10^67 的个位数为1.
选A.
A
翻译：让“n”是美国历史上最大的一次整数,正好有14n 100个数位。从右至左数数字的第68届是什么“n”吗?
A
大致意思是：让“n”是美国历史上最大的一次整数,正好有14n 100个数位。从右至左数数字的第68届是什么“n”吗?
选A
意思是：14n是个100位整数，n为符合条件的最大整数，那么从右往左数，n的第68位是什么？
分析：n应该为 9999.....9999(100个9）除14 的商，向下取整
做下除法，发现n为： 714285714285714285.....(n应该为一个99位数）
n从右往左数第68位，也就是从左往右数第32位
n从左往右六位一循环714285，32除以6余...
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意思是：14n是个100位整数，n为符合条件的最大整数，那么从右往左数，n的第68位是什么？
分析：n应该为 9999.....9999(100个9）除14 的商，向下取整
做下除法，发现n为： 714285714285714285.....(n应该为一个99位数）
n从右往左数第68位，也就是从左往右数第32位
n从左往右六位一循环714285，32除以6余2
所以第32位为1
即答案为A
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