一个质数是p,它的4次方的所有约数之和是完全平方数,一共有多少这样的数?

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/11 02:12:49

一个质数是p,它的4次方的所有约数之和是完全平方数,一共有多少这样的数?
一个质数是p,它的4次方的所有约数之和是完全平方数,一共有多少这样的数?

一个质数是p,它的4次方的所有约数之和是完全平方数,一共有多少这样的数?
简单做一下：
易验证知p>2,即p≥3.
p^4的全体约数之和=1+p+p^2+p^3+p^4=x^2
则x^2≡1(modp),由于p≥3,所以x≡1(modp)或者x≡-1(modp)
对这两种情形分别讨论：
1.x≡-1(modp)
设x=kp-1,则
x^2=k^2p^2-2kp+1=1+p+p^2+p^3+p^4
k^2p-2k=1+p+p^2+p^3
显然k^2>p^2,否则上式左边小于右边,即k≥p+1
但是k还要满足kp^3+p^2+p+1
所以k≤p+1,
从而k=p+1,于是x=p^2+p-1及
(p^2+p-1)^2=p^4+p^3+p^2+p+1
可解得p=3
2.x≡1(modp)
设x=kp+1,则
x^2=k^2p^2+2kp+1=p^4+p^3+p^2+p+1
k^2p+2k=p^3+p^2+p+1
显然k≥p+1且k

p^4约数和=1+p+p^2+p^3+p^4=(p^5-1)/(p-1)
mark下回来再想想

一个质数是p,它的4次方的所有约数之和是完全平方数,一共有多少这样的数? P为质数,P的4次方的所有约数之和为完全平方数,求P是多少 9000的所有约数之和是几 300的约数有几个,所有约数之和是几一个质数的所有约数都是质数.是对还是错的有一个自然数,它的两个最小约数之和是4,最大两个约数之和是100,这个自然数是几?需要逻辑过程. 有一个自然数,它有4个不同的质因数而且有32个约数.其中一个质因数是两位数,它的数字之和是11,并要求这个质数尽可能大,这个自然数最小是多少? 有一个自然数,它有4个不同的质因数而且有32个约数.其中一个质因数是两位数,它的数字之和是11,并要求这个质数尽可能大,这个自然数最小是多少若P为质数,且P^3+5也为质数,那么P^5+7的所有约数之和为__ 有一个自然数,它的最小的两个约数之和是4,最大的两个约数之和是100.求这个自然数.我只知道最小2个约数是1、3,最大是72、25,还要写出最终答案。一个两位数它最小的两个约数之和是八这个两位数最大是最小是一个自然数,它的最大的两个约数之和是15,这个自然数是一个非零偶数,它的最大约数与第二大约数之和是72,这个数是几有一个自然数,它最大的两个约数之和是153,这个自然数是几有一个自然数,它最大的两个约数之和是153,这个自然数是几有一个自然数,它的最小的两个约数之和是3,最大的两个约数之和是90,则这个自然数是____? 有一个自然数,它的最小的两个约数之和是,最大的两个约数之和是100,求这个自然数. 有一个自然数,它的最小的两个约数之和是3,最大的两个约数之和是3003,则这个自然数是多少?