作业帮高数 不定积分 8
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 01:03:19
高数 不定积分 8
高数 不定积分 8
高数 不定积分 8
答：
x/(1+x³)
=1/3×((x+1)/(x²-x+1)-1/(x+1))
=1/3×(1/2×(2x-1)/(x²-x+1)+3/2×1/((x-1/2)²+3/4)-1/(x+1))
=1/6×(2x-1)/(x²-x+1)+1/2×1/((x-1/2)²+3/4)-1/3×1/(x+1)
=1/6×(2x-1)/(x²-x+1)+1/2×4/3×1/((2/√3)×(x-1/2))²+1)-1/3×1/(x+1)
=1/6×(2x-1)/(x²-x+1)+1/√3×(2/√3)/((2x/√3-1/√3))²+1)-1/3×1/(x+1)
所以原积分
=∫[1/6×(2x-1)/(x²-x+1)+1/√3×(2/√3)/((2x/√3-1/√3))²+1)-1/3×1/(x+1)] dx
=(ln|x²-x+1|)/6 - (ln|x+1|)/3 + arctan((2x-1)/√3)/√3 + C
解答见图，点击放大：
令(1-x)/(1+x³)=A/(1+x)-(Bx+C)/(1-x+x²)=[(A-B)x²-(A+B+C)x+A-C]/(1+x³)
得A-B=0
A-C=1
A+B+C=1
解得A=B=2/3，C=-1/3
∫(1-x)/(1+x³)dx
=∫[(2/3)/(1+x)-(2x...
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令(1-x)/(1+x³)=A/(1+x)-(Bx+C)/(1-x+x²)=[(A-B)x²-(A+B+C)x+A-C]/(1+x³)
得A-B=0
A-C=1
A+B+C=1
解得A=B=2/3，C=-1/3
∫(1-x)/(1+x³)dx
=∫[(2/3)/(1+x)-(2x/3-1/3)/(1-x+x²)] dx
=(2/3)∫1/(1+x) dx- (1/3)∫(2x-1)/(x²-x+1) dx
=(2/3)∫1/(1+x) d(x+1)- (1/3)∫1/(x²-x+1) d(x²-x+1)
=(2/3)ln|1+x|-(1/3)ln(x²-x+1)+C
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