作业帮无理数的倒数不一定是无理数吗无理数的倒数是不是无理数啊
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 07:47:09
无理数的倒数不一定是无理数吗无理数的倒数是不是无理数啊
无理数的倒数不一定是无理数吗
无理数的倒数是不是无理数啊
无理数的倒数不一定是无理数吗无理数的倒数是不是无理数啊
无理数的倒数一定是无理数
证明：（反证法）
设该无理数为a,那么a≠0,所以a的倒数存在,等于1/a
假设1/a不是无理数,那么1/a是有理数,所以可以表示成分数,即存在m,n∈整数,使得1/a=n/m,因为1/a≠0,所以n≠0,所以a=m/n,所以a是有理数,与a是无理数矛盾.所以假设不成立,所以1/a是无理数.
一样是无理数
一定是无理数
设a是无理数，
假设b=1/a是有理数
则b可以表示成分数m/n
显然a=1/b=n/m是有理数
与题设矛盾
所以b必为无理数
即：无理数的倒数一定是无理数
设某无理数m，其倒数为1/m。
假设1/m为有理数，则1/m必可写为分数q/p(其中，p、q为互质数），
如果这样，则m必可记为p/q，则m为有理数。
这与m为无理数矛盾，故假设不成立。
所以原命题成立，即：无理数的倒数一定是无理数。
P.S.有理数定义
数学上，有理数是一个整数 a 和一个非零整数 b 的比(ratio)，通常写作 a/b，...
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设某无理数m，其倒数为1/m。
假设1/m为有理数，则1/m必可写为分数q/p(其中，p、q为互质数），
如果这样，则m必可记为p/q，则m为有理数。
这与m为无理数矛盾，故假设不成立。
所以原命题成立，即：无理数的倒数一定是无理数。
P.S.有理数定义
数学上，有理数是一个整数 a 和一个非零整数 b 的比(ratio)，通常写作 a/b，其中a、b是互质数，故又称作分数。希腊文称为 λογος ，原意为“成比例的数”(rational number)，但中文翻译不恰当，逐渐变成“有道理的数”。不是有理数的实数遂称为无理数。
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