作业帮A为3x3矩阵,而且0≠A^3=A^2≠A,1).求证A 不可对角化 2.)0是A的特征值 3).1是A的特征值A为3x3矩阵,而且0≠A^3=A^2≠A,1).求证A 不可对角化 2.)0是A的特征值 3).1是A的特征值 4).举出一个A的例子,该例子需满
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 09:00:07
A为3x3矩阵,而且0≠A^3=A^2≠A,1).求证A 不可对角化 2.)0是A的特征值 3).1是A的特征值A为3x3矩阵,而且0≠A^3=A^2≠A,1).求证A 不可对角化 2.)0是A的特征值 3).1是A的特征值 4).举出一个A的例子,该例子需满
A为3x3矩阵,而且0≠A^3=A^2≠A,1).求证A 不可对角化 2.)0是A的特征值 3).1是A的特征值
A为3x3矩阵,而且0≠A^3=A^2≠A,1).求证A 不可对角化
2.)0是A的特征值
3).1是A的特征值
4).举出一个A的例子,该例子需满足条件A^3=A^2≠A
5).求证任何2X2矩阵都不满足条件A^3=A^2≠A
A为3x3矩阵,而且0≠A^3=A^2≠A,1).求证A 不可对角化 2.)0是A的特征值 3).1是A的特征值A为3x3矩阵,而且0≠A^3=A^2≠A,1).求证A 不可对角化 2.)0是A的特征值 3).1是A的特征值 4).举出一个A的例子,该例子需满
假设A可对角化,不妨设P-1AP=diag(a,b,c).（1）（对角线上是a,b,c的对角矩阵）P可逆
（1）式两边平方：P-1A^2P=diag（a^2,b^2,c^2).（2）
（1）式两边三次方：P-1A^3P=diag（a^3,b^3,c^3).（3）
由（2）（3）式及A^2=A^3,所以a^2=a^3,b^2=b^3,c^2=c^3
所以a,b,c属于集合｛0,1｝,所以a=a^2=a^3...
此时有diag(a,b,c)=diag（a^2,b^2,c^2)=diag（a^3,b^3,c^3),又A=P diag（a,b,c) P-1
A^2=P diag(a^2,b^2,c^2) P-1 则A=A^2矛盾!
所以A不可对角化
即证存在向量α使得Aα=0 即证A不可逆
反证法：假设A可逆,存在A的逆A -1,那么在式子A^3=A^2中左乘A-1得到：A^2=A,矛盾
即证A-I不可逆（I是单位矩阵）
同样反证法：假设A-I可逆,设其逆矩阵为(A-I)-1
那么由A^3-A^2=0,所以A^2(A-I)=0
上式两边同时右乘(A-I) -1：A^2=0
与题目条件0不等于A^3=A^2矛盾
例子：
010
000
001
题目应该是求证任何2X2矩阵都不满足条件0≠A^3=A^2≠A吧不然
01
00就是反例了
下面证明任何2X2矩阵都不满足条件0≠A^3=A^2≠A
反证法：假设存在2X2矩阵都满足条件0≠A^3=A^2≠A,同理：该矩阵不可对角化、0和1为特征值
上面两句话本身是矛盾的因为0和1是两个不同的特征值,这导致2X2矩阵可以被对角化
所以得