作业帮证明：4444 88888888 9 是完全平方数 n个4 （n-1）个8
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/11 21:48:53
证明：4444 88888888 9 是完全平方数 n个4 （n-1）个8
证明：4444 88888888 9 是完全平方数 n个4 （n-1）个8
证明：4444 88888888 9 是完全平方数 n个4 （n-1）个8
证明：An=4444 88888 9 （n个4,（n-1）个8）
=4(10^n-1)/9*10^n+8[10^(n-1)-1]/9*10+9
=[2/3*(10^n)}^2-4/9*10^n+8/9*10^n-80/9+9
=[2/3*(10^n)}^2-8/9*10^n+1/9
=[2/3*(10^n)}^2-2*(2/3*10^n)*1/3+(1/3)^2
=[2/3*(10^n)+1/3]^2
=[(2*10^n+1)/3]^2
因为2*10^n+1的所有位数之和是3,故必为3的整数倍.于是(2*10^n+1)/3为一正整数.故知An=4444 88888 9 （n个4,（n-1）个8）是一个完全平方数,且等于[(2*10^n+1)/3]的平方.
An=4444 88888 9 （n个4，（n-1）个8）
=4(10^n-1)/9*10^n+8[10^(n-1)-1]/9*10+9
=[2/3*(10^n)}^2-4/9*10^n+8/9*10^n-80/9+9
=[2/3*(10^n)}^2-8/9*10^n+1/9
=[2/3*(10^n)}^2-2*(2/3*10^n)*1/3+(1/3)^2
全部展开
An=4444 88888 9 （n个4，（n-1）个8）
=4(10^n-1)/9*10^n+8[10^(n-1)-1]/9*10+9
=[2/3*(10^n)}^2-4/9*10^n+8/9*10^n-80/9+9
=[2/3*(10^n)}^2-8/9*10^n+1/9
=[2/3*(10^n)}^2-2*(2/3*10^n)*1/3+(1/3)^2
=[2/3*(10^n)+1/3]^2
=[(2*10^n+1)/3]^2
因为2*10^n+1的所有位数之和是3，故必为3的整数倍。于是(2*10^n+1)/3为一正整数。故知An=4444 88888 9 （n个4，（n-1）个8）是一个完全平方数，且等于[(2*10^n+1)/3]的平方。
希望采纳，谢谢
收起
设 n位都是1的数＝M
设 N＝6M+1
4444 88888888 9 -1＝4*M*10^n+8*M
＝M（4*10^n +8）
＝M（4*(n个9)+12）
＝M（36*M+12）
＝6M（6*M+2)
＝（N-1）（N+1）
＝N^2 -1
所以原数4444 88888888 9＝N^2