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分全给你了
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第一讲 分式方程(组)的解法


分母中含有未知数的方程叫分式方程．解分式方程的基本思想是转化为整式方程求解,转化的基本方法是去分母、换元,但也要灵活运用,注意方程的特点进行有效的变形．变形时可能会扩大(或缩小)未知数的取值范围,故必须验根．
例1 解方程

解 令y=x2＋2x-8,那么原方程为

去分母得
y(y-15x)＋(y+9x)(y-15x)＋y(y＋9x)=0,
y2-4xy-45x2=0,
(y+5x)(y-9x)=0,
所以 y=9x或y=-5x．
由y=9x得x2+2x-8=9x,即x2-7x-8=0,所以x1=-1,x2=8；由y=-5x,得x2+2x-8=-5x,即x2＋7x-8=0,所以x3=-8,x4=1．
经检验,它们都是原方程的根．
例2 解方程



y2-18y+72=0,
所以 y1=6或y2=12．
x2-2x＋6=0．
此方程无实数根．

x2-8x+12=0,
所以 x1=2或x2=6．
经检验,x1=2,x2=6是原方程的实数根．
例3 解方程

分析与解 我们注意到：各分式的分子的次数不低于分母的次数,故可考虑先用多项式除法化简分式．原方程可变为

整理得

去分母、整理得
x＋9=0,x=-9．
经检验知,x=-9是原方程的根．
例4 解方程

分析与解 方程中各项的分子与分母之差都是1,根据这一特点把每个分式化为整式和真分式之和,这样原方程即可化简．原方程化为

即

所以
((x+6)(x+7)=(x+2)(x+3)．


例5 解方程

分析与解 注意到方程左边每个分式的分母中两个一次因式的差均为常数1,故可考虑把一个分式拆成两个分式之差的形式,用拆项相消进行化简．原方程变形为

整理得

去分母得
x2＋9x-22＝0,
解得 x1=2,x2=-11．
经检验知,x1=2,x2=-11是原方程的根．
例6 解方程

次项与常数项符号相反,故可考虑用合比定理化简．原方程变形为

所以
x=0或2x2-3x-2=2x2+5x-3．


例7 解方程

分析与解 形式与上例相似．本题中分子与分母只是一次项的符号相反,故可考虑用合分比定理化简．原方程变形为

当x≠0时,解得x=±1．
经检验,x=±1是原方程的根,且x=0也是原方程的根．
说明 使用合分比定理化简时,可能发生增根和失根的现象,需细致检验．


例8 解方程

解 将原方程变形为






例9 解关于x的方程





将x1=a-2b或x2=b-2a代入分母b+x,得a-b或2(b-a),所以,当a≠b时,x1=a-2b及x2=b-2a都是原方程的根．当a=b时,原方程无解．
例10 如果方程

只有一个实数根,求a的值及对应的原方程的根．
分析与解 将原方程变形,转化为整式方程后得
2x2-2x+(a+4)=0． ①
原方程只有一个实数根,因此,方程①的根的情况只能是：(1)方程①有两个相等的实数根,即
△=4-4?2(a+4)=0．

(2)方程①有两个不等的实数根,而其中一根使原方程分母为零,即方程①有一个根为0或2．
(i)当x=0时,代入①式得a+4=0,即a=-4．这时方程①的另一个根是x=1(因为2x2-2x=0,x(x-1)=0,x1=0或x2＝1．而x1＝0是增根)．它不使分母为零,确是原方程的唯一根．
(ii)当x=2时,代入①式,得
2×4-2×2＋(a+4)=0,
即a=-8．这时方程①的另一个根是x=-1(因为2x2-2x-4=0．(x-2)(x+1)=0,所以x1=2(增根),x2=-1)．它不使分母为零,确是原方程的唯一根．
因此,若原分式方程只有一个实数根时,所求的a的值分别是
练习一
1．填空：


(3)如果关于x的方程

有增根x=1,则k=____．

2．解方程

3．解方程

4．解方程

5．解方程

6．解方程

7．m是什么数值时,方程

有根?
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