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来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/06 02:24:39

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不等式证明知识概要
河北/赵春祥
不等式的证明问题，由于题型多变、方法多样、技巧性强，加上无固定的规律可循，往往不是用一种方法就能解决的，它是多种方法的灵活运用，也是各种思想方法的集中体现，因此难度较大。解决这个问题的途径在于熟练掌握不等式的性质和一些基本不等式，灵活运用常用的证明方法。
一、要点精析
1.比较法比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法)。
(1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“a-b≥0a≥b；a-b≤0a≤b”。其一般步骤为：①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体；②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段；③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论。应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法。
(2)商值比较法的理论依据是：“若a，b∈R+，a/b≥1a≥b；a/b≤1a≤b”。其一般步骤为：①作商：将左右两端作商；②变形：化简商式到最简形式；③判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1。应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法。
2.综合法利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”。其逻辑关系为：AB1 B2 B3… BnB，即从已知A逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论B。
3.分析法分析法是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”。用分析法证明AB的逻辑关系为：BB1B1 B3 … BnA，书写的模式是：为了证明命题B成立，只需证明命题B1为真，从而有…，这只需证明B2为真，从而又有…，……这只需证明A为真，而已知A为真，故B必为真。这种证题模式告诉我们，分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件。
4.反证法有些不等式的证明，从正面证不好说清楚，可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式A>B，先假设A≤B，由题设及其它性质，推出矛盾，从而肯定A>B。凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时，可以考虑用反证法。
5.换元法换元法是对一些结构比较复杂，变量较多，变量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代换，以便简化原有的结构或实现某种转化与变通，给证明带来新的启迪和方法。主要有两种换元形式。(1)三角代换法：多用于条件不等式的证明，当所给条件较复杂，一个变量不易用另一个变量表示，这时可考虑三角代换，将两个变量都有同一个参数表示。此法如果运用恰当，可沟通三角与代数的联系，将复杂的代数问题转化为三角问题根据具体问题，实施的三角代换方法有：①若x2+y2=1，可设x=cosθ，y=sinθ；②若x2+y2≤1，可设x=rcosθ，y=rsinθ(0≤r≤1)；③对于含有的不等式，由于|x|≤1，可设x=cosθ；④若x+y+z=xyz，由tanA+tanB+tanC=tanAtan-BtanC知，可设x=taaA，y=tanB，z=tanC，其中A+B+C=π。(2)增量换元法：在对称式(任意交换两个字母，代数式不变)和给定字母顺序(如a>b>c等)的不等式，考虑用增量法进行换元，其目的是通过换元达到减元，使问题化难为易，化繁为简。如a+b=1，可以用a=1-t，b=t或a=1/2+t，b=1/2-t进行换元。
6.放缩法放缩法是要证明不等式A二、难点突破
1.在用商值比较法证明不等式时，要注意分母的正、负号，以确定不等号的方向。
2.分析法与综合法是对立统一的两个方面，前者执果索因，利于思考，因为它方向明确，思路自然，易于掌握；后者是由因导果，宜于表述，因为它条理清晰，形式简洁，适合人们的思维习惯。但是，用分析法探求证明不等式，只是一种重要的探求方式，而不是一种好的书写形式，因为它叙述较繁，如果把“只需证明”等字眼不写，就成了错误。而用综合法书写的形式，它掩盖了分析、探索的过程。因而证明不等式时，分析法、综合法常常是不能分离的。如果使用综合法证明不等式，难以入手时常用分析法探索证题的途径，之后用综合法形式写出它的证明过程，以适应人们习惯的思维规律。还有的不等式证明难度较大，需一边分析，一边综合，实现两头往中间靠以达到证题的目的。这充分表明分析与综合之间互为前提、互相渗透、互相转化的辩证统一关系。分析的终点是综合的起点，综合的终点又成为进一步分析的起点。
3.分析法证明过程中的每一步不一定“步步可逆”，也没有必要要求“步步可逆”，因为这时仅需寻找充分条件，而不是充要条件。如果非要“步步可逆”，则限制了分析法解决问题的范围，使得分析法只能使用于证明等价命题了。用分析法证明问题时，一定要恰当地用好“要证”、“只需证”、“即证”、“也即证”等词语。
4.反证法证明不等式时，必须要将命题结论的反面的各种情形一一加以导出矛盾。
5.在三角换元中，由于已知条件的限制作用，可能对引入的角有一定的限制，应引起高度重视，否则可能会出现错误的结果。这是换元法的重点，也是难点，且要注意整体思想的应用。
6.运用放缩法证明不等式时要把握好“放缩”的尺度，即要恰当、适度，否则将达不到预期的目的，或得出错误的结论。另外，是分组分别放缩还是单个对应放缩，是部分放缩还是整体放缩，都要根据不等式的结构特点掌握清楚。
（摘自：《考试报·高二数学版》2004年/07月/20日）
1、比较法（作差法）
在比较两个实数和的大小时，可借助的符号来判断。步骤一般为：作差——变形——判断（正号、负号、零）。变形时常用的方法有：配方、通分、因式分解、和差化积、应用已知定理、公式等。
例1、已知：，，求证：。
证明：，故得。
2、分析法（逆推法）
从要证明的结论出发，一步一步地推导，最后达到命题的已知条件（可明显成立的不等式、已知不等式等），其每一步的推导过程都必须可逆。
例2、求证：。
证明：要证，即证，即，，，，，由此逆推即得。
3、综合法
证题时，从已知条件入手，经过逐步的逻辑推导，运用已知的定义、定理、公式等，最终达到要证结论，这是一种常用的方法。
例3、已知：，同号，求证：。
证明：因为，同号，所以，，则，即。
4、作商法（作比法）
在证题时，一般在，均为正数时，借助或来判断其大小，步骤一般为：作商——变形——判断（大于1或小于1）。
例4、设，求证：。
证明：因为，所以，。而，故。
5、反证法
先假设要证明的结论不对，由此经过合理的逻辑推导得出矛盾，从而否定假设，导出结论的正确性，达到证题的目的。
例5、已知，是大于1的整数，求证：。
证明：假设，则，即，故，这与已知矛盾，所以。
6、迭合法（降元法）
把所要证明的结论先分解为几个较简单部分，分别证明其各部分成立，再利用同向不等式相加或相乘的性质，使原不等式获证。
例6、已知：，，求证：。
证明：因为，，
所以，。
由柯西不等式
，所以原不等式获证。
7、放缩法（增减法、加强不等式法）
在证题过程中，根据不等式的传递性，常采用舍去一些正项（或负项）而使不等式的各项之和变小（或变大），或把和（或积）里的各项换以较大（或较小）的数，或在分式中扩大（或缩小）分式中的分子（或分母），从而达到证明的目的。值得注意的是“放”、“缩”得当，不要过头。常用方法为：改变分子（分母）放缩法、拆补放缩法、编组放缩法、寻找“中介量”放缩法。
例7、求证：。
证明：令，则
，
所以。
8、数学归纳法
对于含有的不等式，当取第一个值时不等式成立，如果使不等式在时成立的假设下，还能证明不等式在时也成立，那么肯定这个不等式对取第一个值以后的自然数都能成立。
例8、已知：，，，求证：。
证明：（1）当时，，不等式成立；
（2）若时，成立，则
= ，
即成立。
根据（1）、（2），对于大于1的自然数都成立。
9、换元法
在证题过程中，以变量代换的方法，选择适当的辅助未知数，使问题的证明达到简化。
例9、已知：，求证：。
证明：设，，则，
（因为，），
所以。
10、三角代换法
借助三角变换，在证题中可使某些问题变易。
例10、已知：，，求证：。
证明：设，则；设，则
所以。
11、判别式法
通过构造一元二次方程，利用关于某一变元的二次三项式有实根时判别式的取值范围，来证明所要证明的不等式。
例11、设，且，求证：。
证明：设，则
代入中得，即
因为，，所以，即，
解得，故。
12、标准化法
形如的函数，其中，且
为常数，则当的值之间越接近时，的值越大（或不变）；当时，取最大值，即
。
标准化定理：当A+B为常数时，有。
证明：记A+B=C，则
，
求导得，由得C=2A，即A=B
又由知的极大值点必在A=B时取得
由于当A=B时，，故得不等式。
同理，可推广到关于个变元的情形。
例12、设A，B，C为三角形的三内角，求证：。
证明：由标准化定理得，当A=B=C时，，取最大值，故。
13、等式法
应用一些等式的结论，可以巧妙地给出一些难以证明的不等式的证明。
例13（1956年波兰数学竞赛题）、为的三边长，求证：
。
证明：由海伦公式，
其中。
两边平方，移项整理得
而，所以。
14、函数极值法
通过变换，把某些问题归纳为求函数的极值，达到证明不等式的目的。
例14、设，求证：。
证明：
当时，取最大值；
当时，取最小值－4。
故。
15、单调函数法
当属于某区间，有，则单调上升；若，则单调下降。推广之，若证，只须证及即可，。
例15、，求证：。
证明：当时，，而
故得。
16、中值定理法
利用中值定理：是在区间上有定义的连续函数，且可导，则存在，，满足来证明某些不等式，达到简便的目的。
例16、求证：。
证明：设，则
故。
17、分解法
按照一定的法则，把一个数或式分解为几个数或式，使复杂问题转化为简单易解的基本问题，以便分而治之，各个击破，从而达到证明不等式的目的。
例17、，且，求证：。
证明：因为
所以。
18、构造法
在证明不等式时，有时通过构造某种模型、函数、恒等式、复数等，可以达到简捷、明快、以巧取胜的目的。
例18、已知：，，求证：。
证明：依题设，构造复数，，则，
所以
故。
19、排序法
利用排序不等式来证明某些不等式。
排序不等式：设，，则有
，其中是的一个排列。当且仅当或时取等号。
简记作：反序和乱序和同序和。
例19、求证：。
证明：因为有序，所以根据排序不等式同序和最大，即。
20、几何法
借助几何图形，运用几何或三角知识可使某些证明变易。
例20、已知：，且，求证：。
证明：以为斜边，为直角边作
延长AB至D，使，延长AC至E，使，过C作AD的平行线交DE于F，则 ∽ ，令，
所以
又，即，所以。
另外，还可以利用重要的不等式来证题，如平均不等式、柯西（Cauchy）不等式、琴生（Jensen）不等式、绝对值不等式、贝努利（J.Bernoulli）不等式、赫尔德（O.HÖlder）不等式、三角形不等式、闵可夫斯基（H.Minkowski）不等式等，这里不再烦述了。
在实际证明中，以上方法往往相互结合、互相包含，证题时，可能同时运用几种方法，结合起来加以证明。
参考文献
[1]李玉琪主编•初等代数研究•北京：中国矿业大学出版社，1993
[2]方初宝等编•数学猜想法浅谈•重庆：科技文献出版社重庆分社，1988
[3]吴德风•不等式与线性规划初步•北京：科学普及出版社，1983

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因为您换元只是对√（a^2+1/a^2）和a+1/a换元
而原题要证明的是√（a^2+1/a^2）-√2>=a+1/a-2
所以才有您的那个疑问，仔细看看就ok了

也即证（y-√2）²≥（x-2）²，
即：a²+1/a²+2-2√2 √（a²+1/a²）≥a²+1/a²+2+4-4a-4/a，
即：√（a²+1/a²）≤√2-√2a-√2/a
即：a²+1/a²≤2a²+2/a²+4+2-2a-2...

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也即证（y-√2）²≥（x-2）²，
即：a²+1/a²+2-2√2 √（a²+1/a²）≥a²+1/a²+2+4-4a-4/a，
即：√（a²+1/a²）≤√2-√2a-√2/a
即：a²+1/a²≤2a²+2/a²+4+2-2a-2/a
即：a²+1/a²+6-2（a+1/a）=（a+1/a）（a+1/a-2）+4≥0
∵a+1/a≥2，∴a+1/a-2≥0，（a+1/a）（a+1/a-2）+4≥4＞0，
命题得证

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你好，图在哪里呢？没看见

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