关于参数方程的数学题 椭圆x^2/a^2 +y^2/b^2 =1内接矩形的最大面积是多少?

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/05 13:30:27

关于参数方程的数学题 椭圆x^2/a^2 +y^2/b^2 =1内接矩形的最大面积是多少?
关于参数方程的数学题
椭圆x^2/a^2 +y^2/b^2 =1内接矩形的最大面积是多少?

关于参数方程的数学题 椭圆x^2/a^2 +y^2/b^2 =1内接矩形的最大面积是多少?
要用椭圆参数方程,设内接矩形的四个顶点为(±acosθ,±bsinθ) ,则矩形的两边长分别是2acosθ,2bsinθ,所以其面积是S=4absinθcosθ=2absin2θ≤2ab,
(θ=π/4时取最大值)面积的最大值是2ab.

最大面积为2ab
假设矩形的一个点为(x,y),由于对称,所以矩形的面积为4*|x|*|y|
根据不等式,2ab≤a^2+b^2,得到
2*(x/a)*(y/b)≤(x/a)^2+(y/b)^2=1
得到,2*x*y≤ab,得到 4*x*y≤2ab

用椭圆参数方程的话,就设内接矩形的四个顶点为(±acosθ,±bsinθ)
S=4absinθcosθ=2absin2θ≤2ab, (θ=π/4时取最大值)

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