作业帮怎么判断线性微分方程啊?y''sinx-y'e^x=ylnx为什么是线性微分方程 求老大们解答
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 20:59:29
怎么判断线性微分方程啊?y''sinx-y'e^x=ylnx为什么是线性微分方程 求老大们解答
怎么判断线性微分方程啊?
y''sinx-y'e^x=ylnx为什么是线性微分方程 求老大们解答
怎么判断线性微分方程啊?y''sinx-y'e^x=ylnx为什么是线性微分方程 求老大们解答
线性微分方程,是指以下形式的微分方程：L(y) = f
其中微分算子L是线性算子,y是一个未知的函数,等式的右面f是一个给定的函数.
把楼主的
y''sinx-y'e^x=ylnx
写成算子形式,就是：
y' -> d/dx (y) d/dx 就是所谓的算子
y'' -> d^2/(dx)^2 (y) 这里求导两次也是算子
ylnx -> lnx*(y) 这里（lnx乘以）也是算子
在微分方程中,常见的算子,不外乎以上几种,乘除（乘性算子）、求导（微分算子）、积分（积分算子）等等...
最终结果就是：（这里,用D来简化d/dx,DD就是求两次导）
{sinx*DD - e^x*D - lnx} (y) = 0
以上大括号部分就是算子形式的L,等号右边的0就是我们的f.如果是0,也就是所谓的齐次方程,否则成为非齐次.
为什么说L是线性呢?
我们作用在a*y1+b*y2上,以检验算子的线性性
这里y1、y2认为是两个可能的解,如果是线性的话,那么解经过线性叠加也是解.
L(a*y1+b*y2) = {sinx*DD - e^x*D - lnx} (a*y1+b*y2) L里面每个都搞进去
=sinx*DD (a*y1+b*y2) - e^x*D(a*y1+b*y2) - lnx (a*y1+b*y2)
因为求导和乘法满足线性
=a*sinx*DD(y1) + b*sinx*DD(y2) - a*e^x*D(y1) - b*e^x*D(y2) - a*lnx*y1 - b*lnx*y2
重新整理一下
=a*L(y1) + b*L(y2)
正好L满足线性性
L(a*y1+b*y2) = a*L(y1) + b*L(y2)
So,这个方程就是线性方程啦!
PS：方程是否线性,用处和判断标准也在于：如果我已经找到了n个解,这n个解的线性组合是不是仍然是解.这对于寻找解是在很方便,而通解也相对容易找到（因为可以通过线性组合的方法来找出所有解）.
怎样学好常微分方程？ 准确点,应该是 f(a*x1+b*x2)=a*f(x1)+f(x2) 这就是"线性"的含义否则就是非线性了！！！谢谢采纳！！！