作业帮求证,闭区间上的连续函数若每个点都是极值点,则它是常值函数.本题不一定可导，to 飞翔同学Riemann函数是减弱到几乎处处连续条件下的反例。不过好像没什么意义。
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 01:37:30
求证,闭区间上的连续函数若每个点都是极值点,则它是常值函数.本题不一定可导，to 飞翔同学Riemann函数是减弱到几乎处处连续条件下的反例。不过好像没什么意义。
求证,闭区间上的连续函数若每个点都是极值点,则它是常值函数.
本题不一定可导，to 飞翔同学
Riemann函数是减弱到几乎处处连续条件下的反例。不过好像没什么意义。
求证,闭区间上的连续函数若每个点都是极值点,则它是常值函数.本题不一定可导，to 飞翔同学Riemann函数是减弱到几乎处处连续条件下的反例。不过好像没什么意义。
这题有点意思.
用反证法
若不然,则存在不相等的实数a和b,满足f(a)不等于f(b),不妨记a
同样的方法,在[a1,b1]中必有c2,满足a
满足bn-an<=(1/2^n)*(b-a)
由闭区间套定理 知 必有一点c,满足an<=c<=bn,n=1,2,3····
若点x=c为函数f(x)的极值点,则存在点c的某个邻域,其中f(c)不大于或者不小于函数在此邻域上的所有取值.而必存在数k,满足ak,bk也属于此领域,而由闭区间套的取法,知必有
f(bk)
故f(x)必为常值函数.
证明：若设闭区间[a,b]上函数f(x)处处都是极值点
由费马定理可知，f'(x)=0 ，x∈(a,b)，此时f(x)=C(C是常数)
由于f(x)在闭区间上连续，所以端点处f(a)=f(b)=C
所以f(x)=C，x∈[a,b]
即它是常值函数
求证,闭区间上的连续函数若每个点都是极值点,则它是常值函数.本题不一定可导，to 飞翔同学Riemann函数是减弱到几乎处处连续条件下的反例。不过好像没什么意义。
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