二重积分求面积的意义二重积分的几何意义是求体积,为什么题里都用它求平面里的面积呢,从几何二者有什么联系呢?

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 11:44:57

二重积分求面积的意义二重积分的几何意义是求体积,为什么题里都用它求平面里的面积呢,从几何二者有什么联系呢?
二重积分求面积的意义
二重积分的几何意义是求体积,为什么题里都用它求平面里的面积呢,从几何二者有什么联系呢?

二重积分求面积的意义二重积分的几何意义是求体积,为什么题里都用它求平面里的面积呢,从几何二者有什么联系呢?
二重积分的具体意义五花八门,具体什么意思要看被积函数是什么意义,还要看两个自变量的含义,下面列举几个例子供楼主参考：
1、如果被积函数是1,而且没有任何单位,而且两个自变量还得都得具有长度的意义,
那么积出来的是面积；
2、如果被积函数虽然是1,如果含有高度的单位,而两个自变量又恰恰都是长度量纲,
那么积出来的就是体积；
3、如果被积函数是质量密度的量纲,无论被积函数是不是1,只要两个自变量的单位
是长度的单位,积出来的就是质量；
4、如果被积函数是电荷密度的量纲,无论被积函数是不是1,只要两个自变量的单位
是长度的单位,积出来的就是电量；
5、如果被积函数是能量密度的量纲,无论被积函数是不是1,只要两个自变量的单位
是长度的单位,积出来的就是能量；
6、单从几何意义上来讲,除了体积之外,二重积分也有不同的含义：
A、可以是面积,dx是长度,dy是宽度,dxdy就是面积,如平面曲线包围的面积；
B、空间曲面的面积,只是积分时要考虑投影；
C、根据高斯定理,一个闭合体内的体积分,一般是三重积分,可以转化为闭合面
上的面积分.
总而言之,二重积分的具体意义,一看被积函数的意义,二看两个自变量的意义,才能决定.

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