极限运算法则和无穷小代换的问题limx->0 (sinx^2/x^2)/[(1-cosx)/(x^2)+(sin/x)]=1/0.5+1=4/3分子和分母分别用等价无穷小带入sin~x,1-cosx~x^2/2分析：不过这明显违背了加减的时候不能用无穷小代换的原则唯

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/01 18:38:07

极限运算法则和无穷小代换的问题limx->0 (sinx^2/x^2)/[(1-cosx)/(x^2)+(sin/x)]=1/0.5+1=4/3分子和分母分别用等价无穷小带入sin~x,1-cosx~x^2/2分析：不过这明显违背了加减的时候不能用无穷小代换的原则唯
极限运算法则和无穷小代换的问题
limx->0 (sinx^2/x^2)/[(1-cosx)/(x^2)+(sin/x)]=1/0.5+1=4/3
分子和分母分别用等价无穷小带入sin~x,1-cosx~x^2/2
分析：不过这明显违背了加减的时候不能用无穷小代换的原则
唯一可以解释的就是用到了极限4则运算,把上式看成是3个独利的
极限再分别带入无穷小化简
结果应该是2/3
笔误

极限运算法则和无穷小代换的问题limx->0 (sinx^2/x^2)/[(1-cosx)/(x^2)+(sin/x)]=1/0.5+1=4/3分子和分母分别用等价无穷小带入sin~x,1-cosx~x^2/2分析：不过这明显违背了加减的时候不能用无穷小代换的原则唯
我想了一下,他这样做的原因可能是他已经明确分子分母的极限都存在且不为0与无穷.
那么按照极限的运算法则可以分子分母各自极限后相除
分子的情况就确定了.
对于分母求极限时,也比较明显知道两项的极限存在且不为0与无穷
那么同理,运用极限的四则运算,也变成各自极限的和.
我这样写,想必你能明白吧?
不过这只是对于极限能确定的情况才适用.若一个极限分子分母的极限情况不知,那么就不能这样做了,只能用其他方法做
所以这道题没有违背加减的时候不能用无穷小代换的原则

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加减项中如果每一项都是无穷小，各自用等价无穷小替换以后得到的结果不是0，则是可以替换的。用泰勒公式求极限就是基于这种思想。
举一个例子让你明白：
求当x→0时，(tanx-sinx)/(x^3)的极限。
用洛必塔法则容易求得这个极限为1/2。
我们知道，当x→0时，tanx～x，sinx～x，若用它们代换，结果等于0，显然错了，这是因为x-x=0的缘故；
而当x→0时，tanx～x+(x^3)/3，sinx～x-(x^3)/6，它们也都是等价无穷小（实际上都是3阶麦克劳林公式），若用它们代换：tanx-sinx～(x^3)/2≠0，就立即可以得到正确的结果。
============下面是推导
泰勒公式求极限的原理（x-->0)：
1。求极限F(x)/G(x)（x-->0),
将F(x)，G(x)泰勒展开。
F(x)=ax^n+O(x^(n+1)),G(x)=bx^m+O(x^(m+1)),
其中a，b≠0，O为高阶无穷小符号：|A（x）/B（x）|≤C（在某邻域内），
记：A（x）=O（B（x））。
根据n，m求F(x)/G(x)的极限。
2。若F(x)=f（x）-g（x）
f（x）=a1+a2x+。。。+a(n+1)x^n+O(x^(n+1)），
g（x）=c1+c2x+。。。+c(n+1)x^n+O(x^(n+1)），
找第一个an≠cn。==》F(x)=[a(n+1)-c(n+1)]x^n+o(x^(n+1)），
然后根据1。求F(x)/G(x)的极限。
3。等价无穷小的替换是泰勒展开的特例，即
f（x）=a2x+o(x^2)，
g（x）=c2x+o(x^2)，
使用的条件是：a2≠c2。

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正确的。
①极限存在是用其他方法证明得到的，如limsinx/x=1,最初的证明是用面积公式；lim（1+1/n）^n=e用的是夹逼原理。
②极限运算成立的证明时用到了：每一个因式的极限都要存在.
所以这是极限运算成立的充分条件。
这道题每个因式的极限都存在（用①中的证明）。
以上两步足以说明做法的正确
③而等价无穷小只是定义，为了更简洁的说明,...

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