2道数学证明题1.证明斜边上高是两直角边在斜边上的比例中项.2.在直角三角形ABC中角C=90度,E是AC中点EH垂直AB于H,求证BH的平方-AH的平方=BC的平方.

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/15 03:48:24

2道数学证明题1.证明斜边上高是两直角边在斜边上的比例中项.2.在直角三角形ABC中角C=90度,E是AC中点EH垂直AB于H,求证BH的平方-AH的平方=BC的平方.
2道数学证明题
1.证明斜边上高是两直角边在斜边上的比例中项.
2.在直角三角形ABC中角C=90度,E是AC中点EH垂直AB于H,求证BH的平方-AH的平方=BC的平方.

2道数学证明题1.证明斜边上高是两直角边在斜边上的比例中项.2.在直角三角形ABC中角C=90度,E是AC中点EH垂直AB于H,求证BH的平方-AH的平方=BC的平方.
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第一题是要证明：斜边上高是两直角边在斜边上的投影的比例中项吗?
在直角三角形ABC中,角A=90度,AD为斜边BC上的高,
直角三角形ADC相似于ABC,AC/BC=DC/AC
AC^2=BC*DC
由勾股定理知：
AC^2=AD^2+DC^2,即：
AD^2+DC^2=BC*DC
AD^2=BC*DC-DC^2=(BC-DC)*DC
即AD^2=BD*DC
其中,AD为斜边上的高,BD和DC为两直角边在斜边上的投影.
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BH^2-AH^2=(BH+AH)(BH-AH)=AB*(AB-2AH)=AB^2-2AB*AH.$
三角形ABC相似于AEH,AE/AB=AH/AC,
AB*AH=AE*AC=AC^2/2,带入$
BH^2-AH^2=AB^2-2AB*AH=AB^2-AC^2
由勾股定理：AB^2-AC^2=BC^2
故BH^2-AH^2=BC^2

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