一道平面几何的题,圆O是三角形ABC的内切圆,BC、CA、AB上的切点各是D、E、F.射线DO交EF于A`,同样可得B`、C`.试证：直线AA`、BB`、CC`共点.答案里没有细说,只有一句可证三条直线均过ABC中心~帮我分

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/10 08:19:16

一道平面几何的题,圆O是三角形ABC的内切圆,BC、CA、AB上的切点各是D、E、F.射线DO交EF于A`,同样可得B`、C`.试证：直线AA`、BB`、CC`共点.答案里没有细说,只有一句可证三条直线均过ABC中心~帮我分
一道平面几何的题,
圆O是三角形ABC的内切圆,BC、CA、AB上的切点各是D、E、F.射线DO交EF于A`,同样可得B`、C`.试证：直线AA`、BB`、CC`共点.
答案里没有细说,只有一句可证三条直线均过ABC中心~
帮我分析下具体过程!不胜指教!

一道平面几何的题,圆O是三角形ABC的内切圆,BC、CA、AB上的切点各是D、E、F.射线DO交EF于A`,同样可得B`、C`.试证：直线AA`、BB`、CC`共点.答案里没有细说,只有一句可证三条直线均过ABC中心~帮我分
只需证明AA'在BC边的中线上,BB'、CC'同理
三条中线交于△ABC的重心
证明：
连接OE、OF
过A'作平行于BC边的直线,交AB于点G,交AC于点H
连接OG、OH
∵⊙O是△ABC的内切圆
∴OD⊥BC,OE⊥AC,OF⊥AB
∵GH‖BC
∴∠DA'G=∠BFO=∠CEO=90°
∴A'OGF四点共圆,A'OEH四点共圆
∴∠A'GO=∠OFE,∠A'HO=∠OEF
又∵OE=OF=r
∴∠OFE=∠OEF
∴∠A'GO=∠A'HO
∴等腰三角形GOH中,A'G=A'H
∵A'G/BK=AA'/AK=A'H/CK
∴BK=CK
∴AA'在BC边中线AK上
同理可证BB'和CC'也在中线上
∴AA'、BB'、CC'交于△ABC的重心
证毕!

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